「荒原之梦考研数学」文章 – 第 92 页 – 荒原之梦

行列式和矩阵的计算规则有什么区别？做了这道题就明白了！

一、题目

已知，四阶方阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left[\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}, \boldsymbol{\gamma}_{4}\right]$, $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left[\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}, \boldsymbol{\gamma}_{4}\right]$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}$, $\boldsymbol{\beta}$, $\boldsymbol{\gamma}_{2}$, $\boldsymbol{\gamma}_{3}$, $\boldsymbol{\gamma}_{4}$ 均为四维列向量，且 $|\boldsymbol{A}|=5$, $|\boldsymbol{B}|=-\frac{1}{2}$, 则 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}| = ?$

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四阶行列式不能直接进行展开运算

一、题目

多项式 $f(x)$ $=$ $\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & x & 4 & 1 \\ 3 & 4 & x & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right|$ 中，$x^{2}$ 项的系数是多少？

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有的行列式可能越化简计算步骤越复杂

一、题目

$$
\left|\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right|=?
$$

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这是一个看上去像但又不像其实真是范德蒙行列式的式子

一、题目

$$
\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} \\ 1 & 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} \\ 9 & 8 & 7 & 6\end{array}\right|=?
$$

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幼儿园送分题：这道行列式计算题只有 0 和 1

一、题目

$$
\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|=?
$$

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这个行列式的计算题你能“秒杀”吗？

一、题目

$$
\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 4 \\ 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2\end{array}\right|=?
$$

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四阶纯数字行列式一般都是直接化简降阶计算

一、题目

$$
\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right|=?
$$

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注意：判断一点处导数存在时说的“左导等于右导”是不带极限的

一、题目

由 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ 能推导出函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导且连续且 $f^{\prime}(x_{0}) = a$ 的结论吗？

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变限积分求导时被积函数中有两个不同的变量怎么办：做变量代换后就可以拆分开了

一、题目

已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $g(x)$ $=$ $\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t$, 则 $g^{\prime}(x) = ?$

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在学怎么找函数零点的个数？这里刚好有一道典型例题！

一、题目

求解下面这个函数零点的个数：

$$
f(x) = 3 \ln x – x
$$

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题目没给变量的取值范围就一定不能去掉绝对值符号吗？不！

一、题目

已知 $\sin x \ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x = ?$

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你会解这个“双层”的变限积分求导题吗

一、题目

已知函数 $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u^{2}} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u$, 则曲线 $y=F(x)$ 在其定义域上的凹凸性如何？

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做对这道题就理解变限积分的计算方式了

一、题目

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{2 x}^{\ln x} \ln (1+t) \mathrm{d} t=
$$

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求解三角函数积分：能合并的先合并

一、题目

$$
I=\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x = ?
$$

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端午佳节：一起读几首古诗词吧

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