已知：
$$
\begin{aligned}
Z_{1}(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ \\
Z_{2}(x) & = f(x) \cdot g(x – k)
\end{aligned}
$$
其中，$x$ 为函数 $Z_{1}$, $Z_{2}$, $f$ 和 $g$ 的自变量，$k$ 为任意实数.
从上面的式子可知，函数 $g(x – k)$ 是函数 $g(x)$ 沿着坐标轴的 $X$ 轴向左或者向右平移 $k$ 个单位的结果.
那么，在什么条件下，函数 $Z_{1}(x)$ 和函数 $Z_{2}(x)$ 会相等呢？
继续阅读“两个函数发生平移变换前后相乘所得函数相等性的分析”
已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $f(x)$ $=$ $\sin x – \int_{0}^{x} (x – t) f(t) \mathrm{~d} t$, 则 $f(x) = ?$
已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)$, 则 $f(x)$ 是（ ）
»A« 偶函数
»B« 奇函数
»C« 非奇非偶函数
»D« 不能确定
首先，由 $f(x+y)$ $=$ $f(x) + f(y)$, 可得：
$$
\begin{aligned}
& f(0) = f(0+0) = f(0)+f(0) = 2f(0) \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ f(0) = 0 }
\end{aligned}
$$
又因为：
$$
\begin{aligned}
& 0 = f(0) = f(x-x) = f[x+(-x)] = f(x) + f(-x) \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ f(-x) = -f(x) }
\end{aligned}
$$
综上可知，$f(x)$ 是奇函数，本题应选 »B«.
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！
很多时候，我们独自一人擦拭伤口，独自一人缝补心灵。
然而，谁的人生不是深一脚浅一脚的试探，谁的人生，也都是第一次面对人生。
纵使我们只是活在一个又一个的梦里，但无论是白日梦，还是星空梦，每一个梦都有每一个梦的价值。
跌跌撞撞地向前走，泪水会滋养出更甜美的笑容，酸楚将成长为更肥沃的土壤，曾经折断的羽翼，也会在一次一次的淬炼中，获得冲向天空的力量！
设 $F(x) = f(x) g(x)$，其中函数 $f(x)$, $g(x)$ 在区间 $(-\infty, +\infty)$ 内满足以下条件：
$\textcolor{yellow}{f ^{\prime} (x) = g(x)}$，$\textcolor{yellow}{g ^{\prime} (x) = f(x)}$，$\textcolor{yellow}{f(0) = 0}$，$\textcolor{yellow}{f(x) + g(x) = 2 \mathrm{e}^{x}}$.
请解答下面的问题：
(Ⅰ) 求 $F(x)$ 所满足的一阶微分方程；
(Ⅱ) 求出 $F(x)$ 的表达式.
对 $F(x) = f(x)g(x)$ 求导，得：
$$
\textcolor{lightgreen}{
F ^{\prime} (x)=f ^{\prime} (x)g(x) + f(x)g ^{\prime} (x)
} \tag{1}
$$
又由题可知 $\textcolor{yellow}{f ^{\prime} (x) = g(x)}$，$\textcolor{yellow}{g ^{\prime} (x) = f(x)}$，且 $\textcolor{yellow}{f(x) + g(x) = 2 \mathrm{e}^{x}}$, 所以，上面的 $(1)$ 式可转化为：
$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ F ^{\prime} (x) } & = g^{2}(x) + f^{2}(x) \\ \\
& =[f(x)+g(x)]^{2}-2f(x)g(x) \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ 4 \mathrm{e}^{2x} – 2F(x) }
\end{aligned}
$$
于是可知，函数 $F(x)$ 所满足的一阶微分方程为：
$$
\textcolor{springgreen}{
F ^{\prime} (x) + 2F(x) = 4 \mathrm{e}^{2x}
} \tag{2}
$$
又由题目已知条件 $\textcolor{yellow}{ f(0) = 0 }$ 可知，该一阶微分方程得初始条件为：
$$
F(0) = f(0)g(0) = 0
$$
事实上，这里求出来得一阶微分方程是一个一阶线性微分方程。
根据第（Ⅰ）问，我们得到了下面这个一阶微分方程：
$$
\textcolor{springgreen}{
F ^{\prime} (x) + 2F(x) = 4 \mathrm{e}^{2x}
} \tag{2}
$$
那么，如果要将 $(2)$ 式中的 $F ^{\prime} (x) + 2 F(x)$ 凑成 $f(x) F(x)$ 的形式，则 $f(x)$ 应该是多少呢？
观察可知，如果对 $f(x) F(x)$ 进行求导，则有：
$$
\textcolor{orange}{ \left[ f(x) F(x) \right] ^{\prime} = f(x) F ^{\prime} (x) + f ^{\prime} (x) F(x) } \tag{3}
$$
很显然，如果要根据上面的 $(3)$ 式来凑 $(2)$ 式，那么，就需要有：
$$
\textcolor{magenta}{ f ^{\prime} (x) = 2f(x) } \tag{4}
$$
在我们常见的函数中，只有底数为 $\mathrm{e}$ 的幂函数容易符合上面 $(4)$ 式的性质，例如：
$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
\left( \mathrm{e}^{kx} \right) ^{\prime} = k \mathrm{e}^{kx} \\ \\
\left( \mathrm{e}^{kx} \right) ^{\prime \prime} = k \cdot k \mathrm{e}^{kx}
\end{cases} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \begin{cases}
\left( \mathrm{e}^{2x} \right) ^{\prime} = 2 \mathrm{e}^{2x} \\ \\
\left( \mathrm{e}^{2x} \right) ^{\prime \prime} = 2 \cdot 2 \mathrm{e}^{2x}
\end{cases}
\end{aligned}
$$
所以，如果我们给 $F ^{\prime} (x) + 2F(x)$ 的每一项都乘上一个 $\mathrm{e}^{2x}$, 就会得到：
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^{2x} \left[ F ^{\prime} (x) + 2F(x) \right] \\ \\
= \ & \mathrm{e}^{2x} F ^{\prime} (x) + 2 \mathrm{e}^{2x} F(x) \\ \\
= \ & \textcolor{lightgreen}{ \left[ \mathrm{e}^{2x} F(x) \right] ^{\prime} }
\end{aligned}
$$
既然上面的式子中出现了原函数 $F(x)$, 而且是一个带有求导符号的式子，我们就很容易进行积分运算写出原函数了，于是，我们在 $(2)$ 式的等号两端同时乘以 $\mathrm{e}^{2x}$, 得：
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^{2x} \left[ \textcolor{springgreen}{F ^{\prime} (x) + 2F(x)} \right] = \mathrm{e}^{2x} \cdot \textcolor{springgreen}{ 4 \mathrm{e}^{2x} } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \left[ \mathrm{e}^{2x} F(x) \right] ^{\prime} = 4 \mathrm{e}^{4x} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \int \left[ \mathrm{e}^{2x} F(x) \right] ^{\prime} \mathrm{~d} x = 4 \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \mathrm{e}^{2x} F(x) = \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} \left( 4x \right) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \mathrm{e}^{2x} F(x) = \mathrm{e}^{4x} + C \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & F(x) = \frac{\mathrm{e}^{4x} + C}{\mathrm{e}^{2x}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{lightgreen}{ F(x) = \mathrm{e}^{2x} + C \mathrm{e}^{-2x} }
\end{aligned}
$$
将 $F(0) = 0$ 代入上式，得：
$$
1 + C = 0 \leadsto \textcolor{lightgreen}{ C = -1 }
$$
综上可知：
$$
\textcolor{lightgreen}{
F(x) = \mathrm{e}^{2x} – \mathrm{e}^{-2x}
}
$$
当然，直接使用一阶线性微分方程的求解公式，也可以求解出 $F(x)$ 的表达式：
由前面的 $(2)$ 式，即 $F ^{\prime} (x) + 2 F(x) = 4 \mathrm{e}^{2x}$ 可得：
$$
\begin{aligned}
F(x) = & \ \left[ 4 \mathrm{e}^{2x} \cdot \mathrm{e}^{\int 2 \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x + C \right] \mathrm{e}^{- \int 2 \mathrm{~d} x} \\ \\
= & \ \left[ 4 \int \mathrm{e}^{2x} \cdot \mathrm{e}^{2x} \mathrm{~d} x + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \left[ 4 \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} x + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \left[ \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} \left( 4x \right) + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \left[ \mathrm{e}^{4x} + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \mathrm{e}^{2x} + C \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
\leadsto & \ \textcolor{gray}{F(0) = 0} \\ \\
= & \ \mathrm{e}^{2x} – \mathrm{e}^{-2x}
\end{aligned}
$$
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！
已知，当 $x \rightarrow 0$ 的时候，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是等价无穷小，即：
$$
f(x) \sim g(x)
$$
那么，如果 $\xi \in (f(x), g(x))$, 则 $\lim_{x \rightarrow 0} \xi$ 和 $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ 之间是等价无穷小的关系吗？
继续阅读“无穷小夹逼定理：两个等价无穷小之间只存在等价无穷小”$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} – \sqrt{1 + \sin x}}{x^{2} – x \ln (1+x)} = ?
$$
NASA 于 1977 年发射的双胞胎探测器旅行者 1 号和 2 号（Voyager 1, Voyager 2），目前正以大约每小时 56000 公里的速度穿越星际空间。上面这幅艺术概念图描绘了其中一颗旅行者号探测器疾速飞行的场景。
旅行者号探测器由 NASA 的喷气动力实验室（JPL）建造，该实验室至今仍在继续操控这两颗探测器。
在高等数学中，我们会用到“极限存在”和“极限不存在”这样的表述。那么：
在本文中，「荒原之梦考研数学」将针对上面的问题逐一解答。
继续阅读“什么叫极限存在？什么叫极限不存在？”
上图中时 NASA “毅力号（Perseverance Rover）”火星车使用的研磨钻头，用于去除火星岩石表面的风化层。图像拍摄于 2021 年 08 月 02 日，是毅力号执行任务以来的第 160 个火星日，由火星车上的 Mastcam-Z 成像仪拍摄。
火星岩石常常因风化而覆盖上尘埃，这会掩盖有关其成分和历史的重要细节。上图图中央金黄色的圆盘就是火星车的研磨器，上面有三条长度不同的平行线条，呈不对称排列——该钻头的高速旋转，可以使得岩石露出约 2 英寸（约 5 厘米）直径的光滑新鲜的岩面。
据我推测，位于金黄色钻头两侧的深灰色柱状设备，应该是为了增加整个设备在火星岩石表面的固定力度，保障钻头研磨作业的顺利进行。
我们知道，如果将 $g \left( x \right) = x^{2} + 16$ 代入到函数 $f \left( x \right)$ 中，就得到了复合函数 $f \left[ g \left( x \right) \right]$.
如果要给函数 $f \left[ g \left( x \right) \right]$ 换一个表达上的形式，则可以写成：
$$
\textcolor{lightgreen}{
f \left( x^{2} + 1 \right)
}
$$
上面的过程是将函数 $f(x)$ 变成函数 $f \left( x^{2} + 1 \right)$, 我们称之为“ 复 合 运 算 ”；如果是将函数 $f \left( x^{2} + 1 \right)$ 变成函数 $f \left( x \right)$, 就是本文所说的“ 逆 复 合 运 算 ”。
在本文中，我们讨论的重点是，在对形如 “$f \left( x^{2} + 1 \right)$” 这样的复合函数进行逆复合运算的时候，什么情况下适合用 换 元 法 ，什么情况下不适合用 换 元 法 。
继续阅读“做复合函数逆复合运算的时候，该不该用换元法？”考研是很需要耐心和毅力的，但考上了研，“痛苦”才刚刚开始。
读研期间，我们需要做项目，需要读“天书”一样的论文，还要在毕业前写出几篇“天书”一样的论文。可以说，读研需要花费的精力，差不多是考研的好几倍。
不过，考研和读研仍然是有价值的，这个价值在拿到毕业证和学位证的那一刻得到了最好的具象化。
最近，“两研究生从济南打的去拉萨，已行驶近 3000 公里，打表价一万余元”的新闻冲上了热搜——
那么，辛辛苦苦考研和读研，等到终于修成正果的时候，同学们会想要怎么庆祝一下人生中这一段美妙的经历呢？
我想，无论是开始一段放松的旅行，或者是奖励自己一台高配电脑，还是马不停蹄的投入到接下来的工作，亦或更进一步的学习之中，都不妨在内心，给自己一个深深的拥抱：
“你一个人走过了这么长长的路，扛下了这么多沉甸甸的挑战，你真的很棒，很棒！”
是的，你真的很棒，包括现在正在努力的你。你用自己的脚步，正在丈量的，不仅仅是现实与梦想的距离，也是人生可能的边界或者上限，这种勇于挑战并付诸实践的精神，正是一个人的生命是否热烈的重要标志。
——荒原之梦，2025年7月8日
这张图片拍摄于 2025 年 06 月 28 日，即“毅力号（Perseverance rover）”执行火星任务的第 1548 个火星日。图中铭刻有阿斯克勒庇俄斯之杖（Rod of Asclepius）的铝质铭牌尺寸为 3 英寸 × 5英寸（约 8 厘米 × 13 厘米），是毅力号火星车在 2020 年 05 月于佛罗里达州 NASA 肯尼迪航天中心进行最终组装时安装的。
阿斯克勒庇俄斯之杖是一个在国际医药领域被广泛使用的标志，由木杖和缠绕其上的蛇组成，也被称为“蛇杖”。其中，木杖寓意为人类的脊柱，而具有蜕皮能力的蛇则寓意着恢复和治愈，这也是医学之于人类的崇高意义。
$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{\ln (x + \sqrt{1+x^{2}})} – \frac{1}{\ln (1+x)} \right) \\ \\
I_{2} & = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{x^{2}} – \frac{1}{\sin^{2} x} \right)
\end{aligned}
$$
$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\arctan x}{x} \right)^{\frac{1}{x^{2}}} = ?
$$
