「荒原之梦考研数学」文章

一、前言

对于一个二元隐函数（或者说二元方程式） $F(x, y) = 0$, $y = y(x)$ 而言，对 $x$ 求导（全导数）的公式的一般推导过程如下：

$$
\begin{aligned}
& F \left( x, y \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} F \left( x, y \right)}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orange}{ F^{\prime}_{x} \left( x, y \right) + F^{\prime}_{y} \left( x, y \right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{- F^{\prime}_{x} \left( x, y \right)}{F^{\prime}_{y} \left( x, y \right)}
\end{aligned}
$$

其中，$F^{\prime}_{y} \left( x, y \right) \neq 0$.

当然，我们也可以简写成下面的形式：

$$
\begin{aligned}
& F \left( x, y \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orange}{ F^{\prime}_{x} + F^{\prime}_{y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{- F^{\prime}_{x} }{F^{\prime}_{y} }
\end{aligned}
$$

其中，$F^{\prime}_{y} \neq 0$.

此外，还可以写成下面的形式：

$$
\begin{aligned}
& F \left( x, y \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} x} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orange}{ \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{- \partial F / \partial x }{ \partial F / \partial x }
\end{aligned}
$$

其中，$\frac{\partial F}{\partial x} \neq 0$.

可以看到，要理解上面的公式，最主要的就是要理解 $\frac{\partial F}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $0$ 这个式子是怎么来的.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一些实例，以递进式的方式，为同学们讲清楚上面这个式子的由来.

继续阅读“由方程式确定的隐函数求导公式的“实例递进式”推导”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将分别对全导数和偏导数之间的联系与区别，以及全导数和全微分之间的联系与区别做一个详细的阐释.

继续阅读“全导数、偏导数和全微分的区别与联系”

一、前言

韦达定理描述了多项式方程的根与方程系数之间的关系. 由于该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达首次发现，因此得名.

继续阅读“一元 n 次方程的韦达定理（包括证明过程和示例）”

一、前言

所谓多项式的因式分解，一般指的就是把一个多项式分解为两个或多个因式，从而将一个复杂的多项式，变成一些较原式更简单的多项式的乘积.

继续阅读“多项式的因式分解定理”

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《齐次函数详解与示例》这篇文章中，我们以定义和示例的方式理解了什么是齐次函数，在本文中，我们将通过四则运算的运算律和峰式图两种方式，来深入理解齐次函数的本质机制.

继续阅读“峰图 | 齐次函数本质机制的两种解释”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对齐次函数做一个深入的讲解，同时还会提供一些齐次函数的具体例子，以帮助同学们更加深入地理解这一概念.

继续阅读“齐次函数详解与示例”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细介绍一下考研数学中常见的数字类别.

继续阅读“考研数学中常见的数字类别及符号表示”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对考研数学一要求掌握的欧拉方程做一个详细的解析.

继续阅读“欧拉方程详解”

一、题目

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 2 – \left(\frac{1+\cos x}{2}\right)^{x} – \left[\frac{1+\ln(1+x)}{1+x}\right]^{x}}{x^{3}} = ?
$$

继续阅读“泰勒公式 VS 拆项变形，哪种解法更简单？”

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细介绍一下考研数学线性代数中的“幂零矩阵”.

同时，在本文中，「荒原之梦考研数学」还会通过“峰图（峰式图）”的方式证明为什么有些矩阵是（不是）幂零矩阵，同时以形象的方式展示幂零矩阵的“塌缩”机制.

继续阅读“峰图 | 基于“动线交点”理论理解幂零矩阵的“塌缩”机制”