「荒原之梦考研数学」文章 – 第 32 页

一、前言

线性代数中的“单位矩阵（$\boldsymbol{E}$）”是一个非常特别的矩阵，这个矩阵非常简单，以至于可以用来记录初等变换的过程。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下单位矩阵的这一作用。

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每日箴言：真正的体面来自独立且坚韧的人格

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Michael D Beckwith

西装革履只是“体面”的装饰物，真正的体面是不屈不挠的努力奋斗，坚守良知的处事准则，以及饱满且充满活力的内心理想，这些都是独立人格的组成部分，而只有独立人格，才是体面赖以生长的沃土。

2024 年 08 月 12 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：位于苏格兰梅尔罗斯城的阿伯茨福德庄园内的自习室。
作者：Michael D Beckwith
授权协议：本作品采用知识共享 CC0 1.0 通用公有领域贡献许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2018 年 03 月 06 日 13 时 46 分 09 秒
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

一、前言

在线性代数中，我们会遇到关于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的如下写法：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{E}_{12} \quad \boldsymbol{E}_{23} \quad \boldsymbol{E}_{31} \quad \cdots
\end{aligned}
$$

那么，上面这种写法表示什么意思呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下。

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每日箴言：连绵的山峰是地球的年轮

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Vyacheslav Argenberg

一座座山峦，记录了这颗星球亿万年间的不断变迁，一朵云的拂过，也会在山间留下自己的色彩。

2024 年 08 月 11 日

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描述：喜马拉雅山脉的乔拉杰峰（海拔 6440 米）、阿玛达布拉姆峰（海拔 6856 米）和其他山峰
作者：Vyacheslav Argenberg
授权协议：本文件采用知识共享署名 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2009 年 10 月 18 日 11 时 53 分 41 秒
相机坐标：东经 86° 45′ 36″, 北纬 27° 57′ 14.4″
来源：wikipedia.org

通过坐标变换联系起来的两个二次型的系数矩阵互为合同矩阵

一、前言

如果两个二次型之间可以通过坐标变换相互转化，那么这两个二次型的系数矩阵之间具有什么关系呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一问题。

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每日箴言：强大，就是鼎立于世的资本

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：美国国家航空航天局地球观测卫星 1 号搭载的高级陆地成像仪

在人内心的丛林法则下，慕强凌弱是最鲜明的特征，一个不上进、不努力、不强大的人，根本无法赢得别人的由衷地尊敬。因为，只有强者才能喷射出消融鄙夷与嫉妒的烈焰，让少数丑陋的灵魂，在炙烤中屈服。

2024 年 08 月 10 日

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描述：图为巴西联邦区的自然色彩图像，图中包含巴西首都巴西利亚。巴西利亚城 1956 年开始建设，位于海拔 1158 米的巴西高原上，1960 年 04 月 21 日，巴西为了加快内陆地区的开发，正式将首都从当时的里约热内卢迁至巴西利亚。真正的巴西利亚只是巴西利亚联邦区的 29 个行政区之一，但通常也用“巴西利亚”一词称呼整个巴西利亚联邦区。
作者：美国国家航空航天局地球观测卫星 1 号搭载的高级陆地成像仪
授权协议：本文件完全由 NASA 创作，在美国属于公有领域。根据 NASA 的版权方针，NASA 的材料除非另有声明否则不受版权保护。
拍摄时间：2001 年 08 月 21 日
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

自然常数 e 的那些事

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每日箴言：去不同的地方，看不同生命的肆意昂扬

走过不同的地方，才能拓展眼界，不拘泥于眼前的得失，看不同的风景，吹不同的风，汇聚五湖四海的力量，磨练坚韧与顽强。

2024 年 08 月 09 日

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描述：图为正在浅水处觅食的雌性成年金眶鸻（Charadrius dubius），摄于荷兰东南部的林堡省。
作者：Stephan Sprinz
授权协议：本文件采用知识共享署名 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2022 年 04 月 19 日 07 时 11 分 10 秒
相机坐标：东经 6° 03′ 30.83″, 北纬 51° 12′ 04.94″
来源：wikipedia.org

这道题目看似很简单，但全身都是“坑”

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 连续，且：

$$
\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+2x ) + x f(x)} {x^{2}} = 3
$$

则：

$$
\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ 2+f(x) }{x} = ?
$$

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每日箴言：多闻一闻泥土的芬芳，那是生命与希望的味道

泥土，是孕育生命的摇篮，无论滋润还是干涸，都如同坚韧的母亲，竭尽全力地在哺育未来。

2024 年 08 月 08 日

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描述：图为漏斗状蜘蛛网中的长疣马蛛（Hippasa holmerae），摄于老挝南部占巴塞省的四千岛。
作者：Basile Morin
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2019 年 01 月 06 日 16 时 57 分 26 秒
相机坐标：东经 105° 53′ 08.19″, 北纬 14° 00′ 17.25″
来源：wikipedia.org

数字零和极限零有什么区别？

一、前言

在高等数学的学习中，我们会遇到两种“零”：等于零（$= 0$）和趋于零（$\rightarrow 0$）。

那么，在计算的时候，这两种“零”有哪些不同点和相同点呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解这一知识点。

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每日箴言：能站在如此多巨人的肩膀上看世界，我们是多么荣幸！

每一个优美的定理、每一个经典的故事、每一本厚重的书籍，都是一个个台阶，一位位伟人。我们又是多么幸运，可以只花费很少的代价，就能汲取这些丰富的营养，看到如此深入的洞察。

而我们需要做的，就是学习他们，乃至超越他们。

2024 年 08 月 07 日

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描述：图为山韭（Allium senescens subsp. glaucum）的花蕾，由 71 幅照片叠焦而成。
作者：Agnes Monkelbaan
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拍摄时间（当地时间）：2023 年 07 月 18 日 07 时 51 分 17 秒
相机坐标：东经 5° 47′ 04.2″, 北纬 52° 58′ 02.82″
来源：wikipedia.org

封闭曲线的弧长不一定是周长

一、题目

已知 $0$ $\leqslant$ $\theta$ $\leqslant$ $3 \pi$, 且：

$$
r(\theta) = \left( \sin \frac{\theta}{3} \right) ^{3}
$$

则曲线 $r(\theta)$ 的弧长是多少？

有时候，曲线 $r(\theta)$ 的极坐标方程也写作：$r(\theta)$ $=$ $\sin ^{3} \frac{\theta}{3}$.

难度评级：

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每日箴言：岁月的刻痕可以写下懊悔，也可以写下无悔

日复一日，年复一年，我们逐渐褪去稚嫩和天真，逐渐成熟乃至久经风霜，但岁月之笔为我们写下的个人史的主基调，可以是懊悔，也可以是无悔。

懊悔之事是对人生价值的减法，无悔之事是对人生价值的加法，多做加法，少做减法，才能实现价值的积累，以至量变而质变，成为一个值得肯定与尊敬的人。

2024 年 08 月 06 日

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描述：图为喷发中的老忠实间歇泉，摄于美国黄石国家公园。
作者：Dietmar Rabich
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拍摄时间（当地时间）：2022 年 06 月 22 日 14 时 10 分
物体坐标：西经 110° 49′ 41.38″, 北纬 44° 27′ 36.83″
相机坐标：西经 110° 49′ 37.02″, 北纬 44° 27′ 36.03″
来源：wikipedia.org