分子越复杂越好算，分母越复杂越难算：在分母中构造分式，可以将分母中的内容往分子中转移

一、题目

难度评级：

二、解析

因此可知，若令 $\tan \frac { x } { 2 }$ $=$ $t$, 就能在分母中产生一些分式，让原本只能在分母上的 $\sin x$ 和 $\cos x$ 以另一种形式移动到分子上，即：

$$
\begin{aligned}
\int \frac { \mathrm { d } x } { 1 + \sin x + \cos x } \\ \\
& = \int \frac { \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } \mathrm { ~ d } t } { 1 + \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } + \frac { 1 – t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } } \\ \\
& = \int \frac{2}{1+t^{2}} \cdot \frac{1+t^{2}}{2+2t} \mathrm{~d} t \\ \\
& = \int \frac { 2 \mathrm { d } t } { 2t + 2 } \\ \\
& = \int \frac { \mathrm { d } t } { t + 1 } \\ \\
& = \ln | t + 1 | + C \\ \\
& \xlongequal{t = \tan (x/2) } \textcolor{green}{ \boldsymbol{\ln \left| \tan \frac { x } { 2 } + 1 \right| + C} }
\end{aligned}
$$

拓展资料

其实，“分子越复杂越好算，分母越复杂越难算”的原理不仅会出现在积分的题目中，在其他的一些题目中也经常可以用到。同时，为了使分母更简单，我们不仅可以使用“化简分子”的方式——

如果一个式子的分子比分母更简单一些，我们也可以通过对原式子取倒数，让分母变得简单。

例如下面这道高中数学的题目，就是通过对原式取倒数的方式扭转了分子和分母的复杂性，从而找到了解题的突破口：

题目

已知正项数列 $\{ a_{n} \}$ 的前 $n$ 项积为 $K_{n}$, 且 $K_{n}$ $=$ $\frac{a_{n}}{a_{n} – 1}$, 请证明 $\{ T_{n} \}$ 为等差数列。

解析

由题可知：

$$
\begin{aligned}
K_{1} & = a_{1} \\
K_{2} & = a_{1} \cdot a_{2} \\
& \vdots \\
K_{n-1} & = a_{1} \cdot a_{2} \cdots a_{n-1} \\
K_{n} & = a_{1} \cdot a_{2} \cdots a_{n-1} \cdot a_{n}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\textcolor{yellow}{
\frac{K_{n-1}}{K_{n}} = \frac{1}{a_{n}}
} \tag{1}
$$

又由于：

$$
K_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n} – 1}
$$

所以：

$$
\frac{1}{K_{n}} = \frac{a_{n} – 1}{a_{n}} = 1 – \textcolor{yellow}{ \frac{1}{a_{n}} } \tag{2}
$$

接着，由上面的 $(1)$ 式，可知：

$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{K_{n}} = \textcolor{pink}{1} – \textcolor{yellow}{ \frac{K_{n-1}}{K_{n}} } \\ \\
\Rightarrow \ & \frac{1}{K_{n}} = \textcolor{pink}{ \frac{K_{n}}{K_{n}} } – \frac{K_{n-1}}{K_{n}} \\ \\
\Rightarrow \ & \frac{ \textcolor{orangered}{1} }{K_{n}} = \frac{\textcolor{orangered}{K_{n}}}{K_{n}} – \frac{\textcolor{orangered}{K_{n-1}}}{K_{n}} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{orangered}{1} = \textcolor{orangered}{K_{n}} – \textcolor{orangered}{K_{n-1}} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ K_{n-1} }} \boldsymbol{-} \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{K_{n}}} = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}
\end{aligned}
$$

于是，$\{ T_{n} \}$ 为等差数列得证。

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