「荒原之梦考研数学」文章 – 第 31 页

每日箴言：妄自菲薄是对“天生我材”的不尊重

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：NASA, ESA, M. Robberto (Space Telescope Science Institute/ESA) and the Hubble Space Telescope Orion Treasury Project Team

无论贫穷或富有，无论顺境或逆境，我们都是“天生我材”。既然我们有幸来到世间，无论能成就多大的事业，首先一点就是，作为一个守法律和讲道德的人，我们就没必要妄自菲薄，我们都是值得别人尊重，也值得自己尊重的人。

2024 年 08 月 20 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：哈勃空间望远镜拍摄的猎户座大星云。
作者：NASA, ESA, M. Robberto (Space Telescope Science Institute/ESA) and the Hubble Space Telescope Orion Treasury Project Team
授权协议：NASA & Space Telescope Science Institute images are public domain; this image also involved ESA, but it can be found at ESA’s Hubble site, which states that “The Hubble material you see on these pages is copyright-free”.
拍摄时间（当地时间）：2006 年 01 月 11 日
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

考研数学常用积分之：含有 $a x$ $+$ $b$ 的积分

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们总结整理被积函数中含有 “$ax$ $+$ $b$” 以及相关变形形式的积分，这些不是基础的积分公式，也不是一般的习题，但可以作为同学们对积分解题方法的积累。

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每日箴言：无论拍摄多少照片，都留不住过去，无论说多少次再见，总会有人再也没有相见

不断的告别的确会让人心生悲伤，但也许只有告别了的，才值得怀念。

2024 年 08 月 19 日

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描述：图为哈勃望远镜微弱物体相机拍摄到的类星体的“爱因斯坦十字（Einstein Cross）”。
该类星体距离地球约 80 亿光年。该现象由中心星系的引力形成的引力透镜产生，这个引力透镜距离地球约 4 亿光年。
作者：NASA, ESA, STScI
图片来源：aHR0cHM6Ly9zY2llbmNlLm5hc2EuZ292L2ltYWdlLWRldGFpbC9odWJibGUtZzIyMzcwMzA1LXN0c2NpLTAxZXZ0YmJ3Y2Y3cTlwemtla3cyNWRkYzN4Lw==

求导去积分符号，积分去求导符号

一、题目

已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{ -f(t) } \mathrm{~d} t$, 则当 $n$ $\geqslant$ $2$ 时：

$$
f^{(n)}(0) = ?
$$

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每日箴言：宇宙浩瀚，我们不过沧海之一粟

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：NASA/JPL-Caltech/UCLA

对恒星来说，一个人的一生不过转瞬即逝；对宇宙来说，巨大的星系也就是一个闪烁着微弱荧光的点——在宇宙的视野中，我们是如此渺小，然而，我们能认识到自己的渺小，能观测到自己的渺小，而这又何尝不是一种伟大？

2024 年 08 月 18 日

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描述：图中是巨大的仙女座星系，也可以称之为梅西耶 31（M31）星系。这张图片的数据由美国国家航空航天局的广域红外巡天探测器（WISE）捕获，该探测器使用其 4 个红外传感器捕获了这张照片的原式数据：3.4 微米和 4.6 微米的光线在这张照片中被渲染为蓝色，代表成熟的恒星；12 微米的光线被渲染成绿色、22 微米的光线被渲染成红色——黄色（黄绿色）和红色部分表示存在被巨大的新生恒星加热的宇宙尘埃。
作者：NASA/JPL-Caltech/UCLA
图片来源：aHR0cHM6Ly9zY2llbmNlLm5hc2EuZ292L2ltYWdlLWRldGFpbC93aXNlLWluZnJhcmVkLXZpZXctb2YtYW5kcm9tZWRhLWdhbGF4eS1hbmQtY29tcGFuaW9ucy0zLw==

考研数学常用的泰勒公式（麦克劳林公式）汇总

一、前言

泰勒公式有很多用处，例如求解函数的 $n$ 阶导。如果大家想要掌握泰勒展开式的整体计算公式，可以查阅「荒原之梦考研数学」的《用逐步简化的方法记忆泰勒公式》这篇文章。在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们提供考研数学中常见的一些在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的泰勒展开式，或者说常见的麦克劳林公式。

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每日箴言：真正的威猛不是藐视世界，而是怜悯众生

人的优越，不是来自贬低别人，而是来自提升自己；人的威猛，不是来自藐视别人，而是来自怜悯众生。

2024 年 08 月 17 日

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描述：丹麦奥尔堡动物园的东北虎。
作者：Malene Thyssen
授权协议：本文件采用知识共享署名 2.5 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2004 年 03 月 21 日
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时，相加所得的向量也是该方程的解

一、题目

已知 $\boldsymbol{\eta}_{1}$, $\boldsymbol{\eta}_{2}$, $\boldsymbol{\eta}_{3}$ 均是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解，若 $k_{1} \boldsymbol{\eta}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ $+$ $k_{3} \boldsymbol{\eta}_{3}$ 也是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解，则 $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$ 应满足：

[A]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $1$

[B]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $3$

[C]. $k_{1}$ $\times$ $k_{2}$ $\times$ $k_{3}$ $=$ $1$

[D]. $k_{1}$ $=$ $1$ 且 $k_{2}$ $=$ $1$ 且 $k_{3}$ $=$ $1$

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每日箴言：没有完美的事物，只有平衡的心态

月有阴晴圆缺，人也有悲欢离合，不可能事事如意，但也不必为过去懊悔，对未来担忧。过好每一天，做好当下事，过去的就随风而逝，未来的就静待明天。

2024 年 08 月 16 日

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描述：在比利时阿莫瓦市拍摄到的月球表面。
作者：Luc Viatour
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 10 月 07 日 22 时 51 分
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

不同的数字相减一定不得零，但相加就不一定了

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，$r(\boldsymbol{A})$ $=$ $n-1$, $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的两个不同的解，$k$ 是任意常数，则以下哪个选项一定是 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的通解？

[A]. $k \boldsymbol{\alpha}_{1}$

[B]. $k \boldsymbol{\alpha}_{2}$

[C]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$

[D]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $-$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$

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每日箴言：倾听内心，每一刻都是永恒

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：United States Air Force photo by Senior Airman Joshua Strang (ID: 050118-F-3488S-003)

我
不知道河流的长度
不知道山峰的海拔
不知道岁月的年龄

我
只知道此刻阳光温热
只知道脚下土地深沉
只知道远方灯火阑珊

一百年、一千年、一万年
都不是永恒
永恒的只有当下
是的
就是此时此刻
就是此情此景
这才是最真实的永恒
可以闻到、听到和看到的永恒

2024 年 08 月 15 日

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描述：在美国阿拉斯加州埃尔森空军基地拍摄到的北极光。
作者：United States Air Force photo by Senior Airman Joshua Strang (ID: 050118-F-3488S-003)
授权协议：公有领域授权。
拍摄时间（当地时间）：2005 年 01 月 19 日 16 时 37 分
相机坐标：西经 147° 06′ 21.49″, 北纬 64° 41′ 49.34″
来源：wikipedia.org

利用“对称初等变换”求解合同矩阵中的可逆矩阵 C

一、题目

已知：

$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$

$$
\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$

求可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}
$$

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每日箴言：离开一个地方，就是封存了一次记忆

离开一个地方，也许在若干年后故地重返时，早已物是人非，陌生的景象，覆盖上记忆中模糊的残影，在或近或远的亲近与疏离之中，一点点窥探过去的记忆，也一步步告别过去的自己。

2024 年 08 月 14 日

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描述：图为位于美国犹他州格兰德县的县治摩押城附近的峡谷地国家公园的印第安溪攀岩区。
作者：Crystal
授权协议：本文件采用知识共享署名 2.0 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2010 年 04 月 14 日 23 时 54 分 34 秒
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵

一、前言

关于主对角线对称的矩阵，特别是单位矩阵具有很多的神奇的性质，在「荒原之梦考研数学」的《单位矩阵可以用来记录初等变换》一文中，我们学习了单位矩阵在“存储”和“写入”矩阵初等行变换和初等列变换上的能力。

在本文中，我们将学习单位矩阵和一般的对称矩阵在“对称初等变换”条件下自动生成其转置矩阵的特殊性质。

对称初等变换示意图

graph TD
	O{O} --第 1 行与第 2 行的初等变换--> A1[A1];
	O --第 1 列与第 2 列的初等变换--> B1[B1];
	A1 --第 2 行与第 3 行的初等变换--> A2[A2];
	B1 --第 2 列与第 3 列的初等变换--> B2[B2];
	A2 --第 i 行与第 j 行的初等变换--> A[A];
	B2 --第 i 列与第 j 列的初等变换--> B[B];
	A --> C[A 和 B 互为转置矩阵];
	B --> C;

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每日箴言：划破夜空的列车如同晶莹的水珠，让大地保持活力

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：Wilfredo Rafael Rodriguez Hernandez

有人说，如果一个城市还有建筑工地的嘈杂声，那就意味着这个城市仍然生机勃勃。其实，一列列火车的飞驰，也是在让大地保持活力，因为，只有交流互通，才能产生发展和进步。

2024 年 08 月 13 日

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描述：异色瓢虫（Harmonia axyridis var. succinea），摄于加拿大东北部的魁北克省。魁北克省的官方语言为法语，这里也是北美洲说法语的人口最集中的地区。
作者：Wilfredo Rafael Rodriguez Hernandez
授权协议：本作品采用知识共享 CC0 1.0 通用公有领域贡献许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2023 年 09 月 03 日 10 时 38 分 15 秒
相机坐标：西经 71° 14′ 37.81″, 北纬 46° 47′ 21.64″
来源：wikipedia.org

一、前言

一、题目

一、前言

一、题目

一、题目

一、题目

一、前言

对 称 初 等 变 换 示 意 图

对称初等变换示意图