「荒原之梦考研数学」文章

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过与一元函数极限的类比，以及对二元函数（全面）极限的定义的分析，为同学们讲清楚二元函数的（全面）极限.

如无特殊说明，本文接下来所提到的“二元函数的极限”指的都是“二元函数的全面极限”.

继续阅读“峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限”

平方差公式

已知，平方差公式为：

$$
\left( a+b \right) \times \left( a-b \right) = a^{2} – b^{2}
$$

所以：

$$
\left( 1 – \sqrt{x} \right) \left( 1 + \sqrt{x} \right) = 1-x
$$

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 – x}{2 \left( 1 – \sqrt{x} \right)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left( 1 – x \right) \left( 1 + \sqrt{x} \right)}{2 \left( 1 – x \right)} = 1
$$

难度评级：

立方差公式

已知，立方差公式为：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a-b \right) \times \left( a^{2} + b^{2} +ab \right)
$$

所以：

$$
\left( 1 – \sqrt[3]{x} \right) \left( \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1 \right) = 1 – x
$$

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 – x}{1 – \sqrt[3]{x}} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left( 1 – x \right) \left( \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1 \right)}{1 – x} = 3
$$

难度评级：

$n$ 方差（$n$ 次幂差）公式

事实上，当 $n$ 为正整数的时候，对于式子 $a^{n} – b^{n}$, 我们有下面的通用计算公式：

$$
\begin{aligned}
a^{n} – b^{n} & = \left( a – b \right) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^{k} \\ \\
& = \left( a – b \right) \left( a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2} + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1} \right)
\end{aligned}
$$

于是——

1. 当 $n=2$ 时，有：

$$
a^{2} – b^{2} = \left( a – b \right) \left( a + b \right)
$$

2. 当 $n=3$ 时，有：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a – b \right) \left( a^{2} + ab + b^{2} \right)
$$

3. 当 $n=4$ 时，有：

$$
a^{4} – b^{4} = \left( a – b \right) \left( a^{3} + a^{2}b + ab^{2} + b^{3} \right)
$$

需要注意的是，由于：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a – b \right) \left( a^{2} + ab + b^{2} \right) \textcolor{orangered}{ \neq \left( a – b \right) \left( a^{2} + 2ab + b^{2} \right) }
$$

即：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a – b \right) \left( a^{2} + ab + b^{2} \right) \textcolor{orangered}{ \neq \left( a – b \right) \left( a+b \right)^{3-1} }
$$

因此：

$$
\textcolor{orangered}{
a^{n} – b^{n} \neq \left( a-b \right) \left( a+b \right)^{n-1}
}
$$

---

前言

下面这个式子连接了三角函数 $\sin$, $\cos$ 和 $\tan$, 即：

$$
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
$$

因此，在遇到有关三角函数 $\tan$ 的积分时，我们可以尝试将其化作由三角函数 $\sin$ 和 $\cos$ 组成的等价表达式；类似地，在遇到有关三角函数 $\sin$ 和 $\cos$ 的积分时，我们可以尝试将其化作由三角函数 $\tan$ 组成的等价表达式.

继续阅读“有关三角函数 sin, cos 和 tan 的积分的两个结题思路：化二为一、化一为二”

一、题目

$$
\int \sin^{4} x \times \cos^{2} x \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“对于偶次幂的三角函数，可以尝试用倍角公式降幂”

一、前言

在计算多项和的乘积的时候（也就是下面这样的式子），很容易出现计算失误：

$$
\left( a+b \right) \times \left( c+d \right) \times \left( e+f+g \right)
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」设计了一种基于表格的多项和的乘积的计算方式，帮助同学们在计算这类式子的时候降低错误率.

继续阅读“峰图 | 用表格的形式辅助计算多项和的乘积”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过公式的推导，帮助同学们在遇到下面这样的式子时可以从中快速拆分出常数，从而方便进行积分、求导等运算：

$$
\frac{a x^{2} + b}{1+x^{2}} \quad \quad \frac{a x^{2} + b}{1 + cx^{2}} \quad \quad \frac{a x^{2} + b}{d + cx^{2}}
$$

我们的目标是，对上面的式子，建立下面的等式：

$$
\begin{align}
\frac{a x^{2} + b}{1+x^{2}} & = A – \frac{B}{1 + x^{2}} \tag{1} \\ \notag \\
\frac{a x^{2} + b}{1 + cx^{2}} & = A – \frac{B}{1 + c x^{2}} \tag{2} \\ \notag \\
\frac{a x^{2} + b}{d + cx^{2}} & = A – \frac{B}{d + c x^{2}} \tag{3}
\end{align}
$$

其中，$a$, $b$, $c$ 和 $d$ 是已知的常数，$A$ 和 $B$ 是未知常数.

继续阅读“从分式中拆分出常数的三个快速公式”

一、题目

$$
\int \frac{(x+1)^{2}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“对于含有根号的部分，在积分的时候也可以尝试直接使用”

题目一

解析一

对自变量 $\textcolor{lightgreen}{x}$ 求偏导时，需要将自变量 $y$ 看作常数，此时 $\textcolor{lightgreen}{x}^{y}$ 就是关于 $\textcolor{lightgreen}{x}$ 的幂函数，于是：

$$
\frac{\partial f}{\partial x} = y \textcolor{lightgreen}{x}^{y-1}
$$

对自变量 $\textcolor{orange}{y}$ 求偏导时，需要将自变量 $x$ 看作常数，此时 $x^{\textcolor{orange}{y}}$ 就是关于 $\textcolor{orange}{y}$ 的指数函数，于是：

$$
\frac{\partial f}{\partial y} = x^{\textcolor{orange}{y}} \ln x
$$

题目二

解析二

对自变量 $\textcolor{lightgreen}{x}$ 求偏导时，需要将自变量 $y$ 看作常数，此时 $y^{\textcolor{lightgreen}{x}}$ 就是关于 $\textcolor{lightgreen}{x}$ 的指数函数，于是：

$$
\frac{\partial f}{\partial x} = y^{\textcolor{lightgreen}{x}} \ln y
$$

对自变量 $\textcolor{orange}{y}$ 求偏导时，需要将自变量 $x$ 看作常数，此时 $\textcolor{orange}{y}^{x}$ 就是关于 $\textcolor{orange}{y}$ 的幂函数，于是：

$$
\frac{\partial f}{\partial y} = x \textcolor{orange}{y}^{x-1}
$$

---

一、前言

导数是对一元函数而言的，偏导数（偏导数有时也称为“偏微商”）是对多元函数而言的. 在本文中，我们就基于二元函数 $z = f(x, y)$ 来理解其一阶偏导数的定义.

继续阅读“一阶偏导数定义的理解”

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于《判断一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法》和《为什么“尖点”一定是不可导点？因为尖点不是“双胞胎点”》这两篇文章中原创的新视角和思路，进一步做方法上的完善，通过对函数微观结构的创造性定义，在微观视角上实现对函数光滑属性的描述和解释. 由于对函数光滑属性的研究，实际上就是对函数的导函数进行研究，所以，本文所提供的方法可用于以更加直观的方式解释函数的可导性，以及对导函数性质的描述.

继续阅读“峰图 | 基于对函数微观结构的定义研究函数的光滑属性”