月度归档： 2023 年 9 月

一、题目

计算 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant b)$ 所形成的图形的质心 $(\bar{x}, \bar{y})=?$

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一、题目

以 $y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \cos 2 x+C_{3} \sin 2 x$（其中 $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$ 是任意常数）为通解的微分方程是多少？

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一、题目

已知 $P(x), Q(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且以 $T$ 为周期，函数 $y=y(x)$ 是 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=Q(x)$ 的解，则 $y(0)=y(T)$ 是 $y=y(x)$ 以 $T$ 为周期的充要条件吗？

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一、题目

现在，用锤子将一铁钉打击进木板，已知木板对铁钉的阻力与铁钉击人木板的深度成正比。且在铁锤击打第一次时能把铁钉击人 $1 \mathrm{~cm}$, 如果铁锤每次击打做的功相等，则第二次能把铁钉击入多少 $\mathrm{cm}$ ?

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一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，$x_{0} \in(a, b)$ 是 $f^{\prime}(x)$ 的间断点，则该间断点一定是什么类型的间断点？

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一、题目

已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $f(x)<g(x)$, 则当 $x \neq 0$ 时，下面的说法中错误的是哪个或哪些？

[1]. $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x} g(t) \mathrm{~d} t$

[2]. $\int_{0}^{x^{2}} f(t) \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x^{2}} g(t) \mathrm{~d} t$

[3]. $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x<\int_{0}^{+\infty} g(x) \mathrm{~d} x$

[4]. $\int_{0}^{x^{2}}|f(t)| \mathrm{~d} t<\int_{0}^{x^{2}}|g(t)| \mathrm{~d} t$

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一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连，在 $(a, b)$ 二阶可导，又 $f(a)=f(b)$, $f^{\prime \prime}(x) \neq 0 \ [x \in(a, b)]$, 则下列说法中正确的是哪个？

[1]. 在 $(a, b)$ 内 $f^{\prime}(x) \neq 0$

[2]. 存在 $\xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$, $f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$

[3]. 存在唯一 $\xi \in(a, b), f^{\prime}(\xi)=0$

[4]. 至少存在一点 $\xi \in(a, b), f(\xi)=0$

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一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上有二阶导数, $f(2)=0$, $F(x)=(x-1)^{2} f(x)$, 请判断 $F^{\prime \prime}(x)$ 在 $(1,2)$ 上的零点情况。

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一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上可导且有 $n$ 个不同的零点: $0<x_{1}<x_{2}< \cdots <x_{n}$, 则 $f(x)+f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可能有多少个零点？

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一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 二阶可导，且 $f(a)=f(b)$, $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b)$ 连续, $f_{+}^{\prime}(a)<0$, 则，是否 $\exists \ \xi \in(a, b)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)>0$ 成立？

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一、题目

方程 $x^{2}-x \sin x-\cos x=0$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 内有没有根？如果有根的话，有几个根？

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