月度归档： 2023 年 9 月

一、题目

计算 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(0⩽x⩽a,0⩽y⩽b)$ 所形成的图形的质心 $(\overline{x},\overline{y})=?$

难度评级：

一、题目

以 $y=C_1{\mathrm{e}}^x+C_2\cos 2x+C_3\sin 2x$（其中 $C_1$, $C_2$, $C_3$ 是任意常数）为通解的微分方程是多少？

难度评级：

一、题目

已知 $P(x),Q(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内连续，且以 $T$ 为周期，函数 $y=y(x)$ 是 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$ 的解，则 $y(0)=y(T)$ 是 $y=y(x)$ 以 $T$ 为周期的充要条件吗？

难度评级：

一、题目

现在，用锤子将一铁钉打击进木板，已知木板对铁钉的阻力与铁钉击人木板的深度成正比。且在铁锤击打第一次时能把铁钉击人 $1\mathrm{cm}$, 如果铁锤每次击打做的功相等，则第二次能把铁钉击入多少 $\mathrm{cm}$ ?

难度评级：

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，$x_0\in (a,b)$ 是 $f^{\prime }(x)$ 的间断点，则该间断点一定是什么类型的间断点？

难度评级：

一、题目

已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内连续，且 $f(x)<g(x)$, 则当 $x\ne 0$ 时，下面的说法中错误的是哪个或哪些？

[1]. ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t<{\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t$

[2]. ${\int }_0^{x^2}f(t)\mathrm{d}t<{\int }_0^{x^2}g(t)\mathrm{d}t$

[3]. ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x<{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$

[4]. ${\int }_0^{x^2}|f(t)|\mathrm{d}t<{\int }_0^{x^2}|g(t)|\mathrm{d}t$

难度评级：

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连，在 $(a,b)$ 二阶可导，又 $f(a)=f(b)$, $f^{\prime \prime }(x)\ne 0[x\in (a,b)]$, 则下列说法中正确的是哪个？

[1]. 在 $(a,b)$ 内 $f^{\prime }(x)\ne 0$

[2]. 存在 ${\xi }_1,{\xi }_2\in (a,b)$, $f^{\prime }\left({\xi }_1\right)=f^{\prime }\left({\xi }_2\right)=0$

[3]. 存在唯一 $\xi \in (a,b),f^{\prime }(\xi )=0$

[4]. 至少存在一点 $\xi \in (a,b),f(\xi )=0$

难度评级：

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上有二阶导数, $f(2)=0$, $F(x)=(x-1{)}^{2}f(x)$, 请判断 $F^{\prime \prime }(x)$ 在 $(1,2)$ 上的零点情况。

难度评级：

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上可导且有 $n$ 个不同的零点: $0<x_1<x_2<\cdots <x_n$, 则 $f(x)+f^{\prime }(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 可能有多少个零点？

难度评级：

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 二阶可导，且 $f(a)=f(b)$, $f^{\prime }(x)$ 在 $[a,b)$ 连续, $f_{+}^{\prime }(a)<0$, 则，是否 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$, 使得 $f^{\prime \prime }(\xi )>0$ 成立？

难度评级：

一、题目

方程 $x^2-x\sin x-\cos x=0$ 在区间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内有没有根？如果有根的话，有几个根？

难度评级：