这道高等数学物理应用题不用微积分真的做不出来

一、题目

现在，用锤子将一铁钉打击进木板，已知木板对铁钉的阻力与铁钉击人木板的深度成正比。且在铁锤击打第一次时能把铁钉击人 $1 \mathrm{~cm}$, 如果铁锤每次击打做的功相等，则第二次能把铁钉击入多少 $\mathrm{cm}$ ?

难度评级：

二、解析

由题可知，若击打进入的深度为 $x$, 则对应的阻力应为 $kx$, 其中 $k$ 为某常数。

因此，第一次击打做的功 $W_{1}$ 为：

$$
W_{1}=\int_{0}^{1} k x \mathrm{~ d} x=\left.k \frac{1}{2} x^{2}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2} k
$$

第二次击打做的功 $W_{2}$ 为：

$$
W_{2}=\int_{1}^{l} k x \mathrm{~ d} x=k\left(\frac{1}{2} l^{2}-\frac{1}{2}\right)
$$

又由 $W_{1}=W_{2}$ 可知：

$$
\frac{1}{2} k=k\left(\frac{1}{2} l^{2}-\frac{1}{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2}=\frac{1}{2} l^{2}-\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} l^{2}=1 \Rightarrow
$$

$$
l ^{2}=2 \Rightarrow
$$

$$
l=\sqrt{2} \quad (>0)
$$

综上可知，第二次能把铁钉击入 $\textcolor{orange}{\sqrt{2}} \mathrm{~cm}$.

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