分块矩阵求逆法的口诀

一、前言

口诀全文（版本一）：

主对角线直接逆；
副对角线交换逆；
上下三角副对角线上的不取逆；
上下三角加负号顺时针串联。

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口诀全文（版本二）：

主对角线 AB 逆；
副对角线 BA 逆；
上下三角 C 不逆；
顺时针串联加负号。

二、正文

以下是用公式表示的分块矩阵求逆法：

(1) 主对角线直接逆 / 主对角线 AB 逆

$$
{\left[\begin{array}{ll}
A & O \\
O & B
\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
A^{-1} & O \\
O & B^{-1}
\end{array}\right]}
$$

(2) 副对角线交换逆 / 副对角线 BA 逆

$$
{\left[\begin{array}{ll}
O & A \\
B & O
\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
O & B^{-1} \\
A^{-1} & O
\end{array}\right]}
$$

(3) 上下三角副对角线上的不取逆；上下三角加负号顺时针串联 / 上下三角 C 不逆；顺时针串联加负号

$$
\left[\begin{array}{ll}
A & C \\
O & B
\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
A^{-1} & -A^{-1} C B^{-1} \\
O & B^{-1}
\end{array}\right]
$$

$$
\left[\begin{array}{ll}
A & O \\
C & B
\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
A^{-1} & O \\
-B^{-1} C A^{-1} & B^{-1}
\end{array}\right]
$$

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