通过特征根确定三阶常系数微分方程

一、题目

以 $y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \cos 2 x+C_{3} \sin 2 x$（其中 $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$ 是任意常数）为通解的微分方程是多少？

难度评级：

二、解析

我们通常见到的二阶微分方程有两个特征根 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$, 以此可知，三阶微分方程的特征根就会有三个：

$$
\lambda_{1}, \ \lambda_{2}, \ \lambda_{3}
$$

其中，$C_{1} e^{\textcolor{orange}{1} \cdot x}$ 中的 $\textcolor{orange}{1}$ 代表一个特征根：

$$
\textcolor{orange}{
\lambda_{1} = 1
}
$$

而出现 $C_{2} \cos 2 x+C_{3} \sin 2 x$ 则表示存在形如 $\alpha \pm \beta i$ 形式的虚数根。

又因为虚数根 $\alpha \pm \beta i$ 对应的非齐次微分方程的通解是 $e^{\alpha x} (C_{1} \cos \beta x + C_{2} \sin \beta x)$ 形式的，因此：

$$
\textcolor{orange}{
\lambda_{2} = 2 i
}
$$

$$
\textcolor{orange}{
\lambda_{3} = – 2i
}
$$

于是，我们可以构造出对应的特征方程：

$$
\textcolor{yellow}{
(\lambda – 1)(\lambda – 2 i)(\lambda + 2i) = 0 } \Rightarrow
$$

$$
(\lambda – 1) [\lambda^{2} – (2i)^{2}] = 0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda – 1)[\lambda^{2} – (-4)] = 0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda – 1)(\lambda^{2} + 4) = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{3} + 4 \lambda – \lambda^{2} – 4 = 0 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{yellow}{
\lambda^{3} – \lambda^{2} + 4 \lambda – 4 = 0
}
$$

因此，对应的微分方程就是：

$$
y^{\prime \prime \prime} – y^{\prime \prime} + 4 y^{\prime} – \textcolor{orange}{4y} = 0
$$

注意：

千万不要写成：$y^{\prime \prime \prime} – y^{\prime \prime} + 4 y^{\prime} – \textcolor{orange}{4} = 0$.

---