还记得椭圆的标准方程吗？如果要计算椭圆的质心你会算吗？

一、题目

计算 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant b)$ 所形成的图形的质心 $(\bar{x}, \bar{y})=?$

难度评级：

二、解析

首先，$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 表示的就是椭圆的标准方程，其与 $X$ 轴的交点为 $(a, 0)$ 和 $(-a, 0)$, 与 $Y$ 轴的交点为 $(0, b)$ 和 $(0, -b)$, 示意图如图 01 所示：

但在本题中，要求解的并不是整个椭圆的质心，而是该椭圆位于坐标轴第一象限内的图形 $D$ 的质心 $(0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant b)$, 如图 02 橙色部分所示：

首先，简化质心的求解公式：

$$
\bar{x}=\frac{\iint_{D} x \rho(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y} \quad \bar{y}=\frac{\iint_{D} y \rho(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y}
$$

其中，$\rho(x, y)$ 表示平面图形的面密度，由于本题中没有提面密度，因此，我们认为：

$$
\rho(x, y)=1
$$

进而：

$$
\bar{x}=\frac{\iint_{D} x \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y}{\iint_{D} \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y}, \quad \bar{y}=\frac{\iint_{D} y \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y}{\iint_{D} \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
\bar{x}=\frac{\int_{0}^{a} x \mathrm{~ d} x \int_{0}^{y} \mathrm{~ d} y}{S}, \quad \bar{y}=\frac{\int_{0}^{a} \mathrm{~ d} x \int_{0}^{y} y \mathrm{~ d} y}{S}
} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
\bar{x}=\frac{I_{1}}{S}, \quad \bar{y}=\frac{I_{2}}{S}
}
$$

其中，椭圆整体的面积为 $\pi a b$, 因此，积分区域 $D$ 的面积为：

$$
\textcolor{orange}{
S = \frac{1}{4} \pi a b
}
$$

接着，由于上面的质心公式中用到了函数 $y(x)$, 因此，我们需要求解出其表达式：

$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow
$$

$$
b^{2} x^{2}+a^{2} y 2=a^{2} b^{2} \Rightarrow
$$

$$
a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}-b^{2} x^{2} \Rightarrow
$$

$$
y^{2}=b^{2}-\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
y=b \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}
}
$$

于是：

$$
\textcolor{orange}{ I_{1} } = \int_{0}^{a} x \mathrm{~ d} x \int_{0}^{y} \mathrm{~ d} y=\int_{0}^{a} x y \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{a} x y(x) \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{a} x b \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}} \mathrm{~ d} x=b \int_{0}^{a} x\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~ d} \left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right) \Rightarrow
$$

$$
\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)_{x}^{\prime}=-2 \frac{1}{a^{2}} x \Rightarrow
$$

$$
I_{1}=\frac{-a^{2} b}{2} \int_{0}^{a}\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~ d} \left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)=
$$

$$
\left.\frac{-a^{2} b}{2} \cdot \frac{2}{3}\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{a}=
$$

$$
\frac{-a^{2} b}{3}[0-1] = \textcolor{orange}{\frac{a^{2} b}{3}}.
$$

又：

$$
\textcolor{orange}{ I_{2} } = \int_{0}^{a} \mathrm{~ d} x \int_{0}^{y} y \mathrm{~ d} y=\frac{1}{2} \int_{0}^{a} y^{2}(x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{a}\left(b^{2}-\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}\right) \mathrm{~ d} x=\frac{1}{2} b^{2} \int_{0}^{a} \mathrm{~ d} x-\frac{b^{2}}{2 a^{2}} \int_{0}^{a} x^{2} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\frac{a b^{2}}{2}-\left.\frac{b^{2}}{2 a^{2}} \cdot \frac{1}{3} x^{3}\right|_{0} ^{a}=\frac{a b^{2}}{2}-\frac{a b^{2}}{2 \times 3} = \textcolor{orange}{ \frac{1}{3} a b^{2} }
$$

综上：

$$
\textcolor{yellow}{ \bar{x} } = \frac{I_{1}}{S}=\frac{\frac{a^{2} b}{3}}{\frac{1}{4} \pi a b}=\frac{4 a^{2} b}{3 \pi a b} = \textcolor{yellow}{ \frac{4 a}{3 \pi} }
$$

$$
\textcolor{yellow}{ \bar{y} }=\frac{I_{2}}{S}=\frac{\frac{a b^{2}}{3}}{\frac{1}{4} \pi a b}=\frac{4 a b^{2}}{3 \pi a b}= \textcolor{yellow}{ \frac{4 b}{3 \pi} }
$$

综上可知，区域 $D$ 的质心为：

$$
(\frac{4 a}{3 \pi}, \frac{4 b}{3 \pi})
$$

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