罗尔定理还可以用于判断函数零点的个数哦

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上可导且有 $n$ 个不同的零点: $0<x_{1}<x_{2}< \cdots <x_{n}$, 则 $f(x)+f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可能有多少个零点？

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二、解析

已知 $e^{x} \cdot [ f(x)+f^{\prime}(x) ]$ 与 $f(x)+f^{\prime}(x)$ 的零点个数相同，且：

$$
[e^{x} f(x)]^{\prime} = e^{x} \cdot [ f(x)+f^{\prime}(x) ]
$$

于是，$[e^{x} f(x)]^{\prime}$ 与 $f(x)+f^{\prime}(x)$ 具有相同的零点个数。

由于 $e^{x} f(x)$ 与 $f(x)$ 有相同的零点个数，即 $n$ 个零点，则根据罗尔定理可知，每两个属于 $e^{x} f(x)$ 的零点之间一定有至少一个点使得 $[e^{x} f(x)]^{\prime}$ 等于零，因此，在区间 $[0, + \infty)$ 上至少存在 $n-1$ 个点使得$[e^{x} f(x)]^{\prime}$ 等于零，即：

$[e^{x} f(x)]^{\prime}$ 至少有 $n-1$ 个零点。

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