2023 年 5 月 – 第 5 页 – 荒原之梦

应用洛必达法则的三点注意事项

一、前言

洛必达法则是高等数学解题过程中常用的一个法则，在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将给出应用洛必达法则的三点注意事项，帮助大家在做题过程中明确哪些时候可以用洛必达法则，哪些时候不可以用洛必达法则。

遇到三角函数问题时要知道：不同的三角函数之间可以相互转换

一、题目

$$
\int_0^1 \arcsin x \cdot \arccos x \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

反三角函数 arcsin x 和 arccos x 的关系

一、前言

本文通过图示的方法阐述了反三角函数 $\arcsin x$ 和 $\arccos x$ 的关系，有助于在解题过程中进行相互的转化替换。

如果一个部分无法直接被化简计算，就尝试整体代换

一、题目

已知：

$$
f(x) = x^{2} – x \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{~d} x + 2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x
$$

则：

$$
f(x) = ?
$$

难度评级：

常用的极限两原则：拆分之后的所有式子都要有极限且只能在乘除法之间使用等价无穷小替换

一、题目

已知：

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^3} = 0
$$

则：

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-f(x)}{x^2} = ?
$$

难度评级：

易错点：分部积分是减号，分部求导是加号

一、前言

分部积分和分部求导这两个公式有相似点，但在使用时也容易产生混淆，本文将这两个公式放在一起进行对照，以加强记忆，防止出错。

e 抬起并不是只有一种

一、前言

在本文中，荒原之梦网将介绍两种在解题中可能会用到的 $e$ 抬起方法。

关于 $e$ 抬起的原理，可以查看下面这篇文章：

《高等数学 $e$ 抬起计算法的原理》

直接用求导公式求导太复杂时就要尝试用使用导数的定义求导：只适用于求解一点处的导数

一、题目

已知

$$
z = \left(y^x+\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+2 y^2}}\right)^{\sqrt{x^2+y^2}}
$$

则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,1)}$ $=$ $?$

难度评级：

y 不一定就是 x 的函数

一、题目

已知 $z$ $=$ $\mathrm{e}^x$ $-$ $\mathrm{e}^{x+y}$ $+$ $y^2$ $+$ $(x+y)^3$, 则 $\frac{\partial z}{\partial x} = ?$

难度评级：

只对 x 求偏导时，y 的值可以提前代入

一、题目

已知 $f(x, y)$ $=$ $\frac{x^2+y^2}{e^{x y}+x y \sqrt{x^2+y^2}}$, 则 $f_{x}^{\prime}(1,0) = ?$

难度评级：

双剑合一：联合积分

一、题目

$$
I_{1} = \int \cos ^4 x \mathrm{~d} x = ?
$$

$$
I_{2} = \int \sin ^4 x \mathrm{~d} x = ?
$$

遇到数列求和就要考虑是否可以使用定积分的定义求解

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}}{\sum_{k=1}^{n} \sqrt{n+k}} = ?
$$

难度评级：

对于解题过程中的未知数要想一想有没有办法求出来：以“可导必连续”为例

一、题目

已知：

$$
f(x) = \left\{\begin{array}{ll} \sin x+1, & x>0, \\ \frac{1}{1+x^2}, & x \leqslant 0,\end{array}\right.
$$

则 $f(x)$ 的所有原函数是多少？

难度评级：

导数的值反映的是原函数的增长率

一、题目

已知，有界函数 $f(x)$ 在区间 $(c, +\infty)$ 内可导，且 $\lim f^{\prime}(x)$ $=$ $b$, 则 $b$ $=$ $?$

难度评级：

考研数学中常用的三角函数公式汇总

一、前言

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）总结了考研数学中常用的三角函数公式——

虽然没有包含全部三角函数公式，但在有需要的时候，其余一些公式是可以通过本文中这些核心公式推导出来的。