一、题目
已知 $f(x)$ 为已知的连续函数, $t>0, s>0$ 均与积分变量 $x$ 无关, 则积分 $\int_{0}^{\frac{s}{t}} t f\left(\frac{t}{s} x\right) \mathrm{d} x$ 的值与 $t$ 和 $s$ 都有关吗？
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继续阅读“与积分变量无关的变量都视作常数处理”月度归档： 2023 年 5 月
在一重积分中：只有积分变量可以被当作变量处理，其他“变量”都要视作常数
一、题目
已知函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续，且 $a>0$, $g(x)=\int_{-a}^{a}|x-t| f(t) \mathrm{d} t$, 则在 $[-a, a]$ 上是偶函数还是奇函数？
难度评级：
继续阅读“在一重积分中：只有积分变量可以被当作变量处理，其他“变量”都要视作常数”通过嵌套变限积分判断式子整体的奇偶性
一、题目
已知 $f(u)$ 为连续的偶函数，$a$ 是常数，则以下式子的奇偶性如何：
第 1 个式子：
$$
\int_{0}^{x}\left[\int_{a}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$
第 2 个式子：
$$
\int_{0}^{x}\left[\int_{a}^{u} f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$
第 3 个式子：
$$
\int_{a}^{x}\left[\int_{0}^{u} t f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$
第 4 个式子：
$$
\int_{a}^{x}\left[\int_{0}^{u} f(t) \mathrm{~d} t\right] \mathrm{~d} u
$$
难度评级：
继续阅读“通过嵌套变限积分判断式子整体的奇偶性”嵌套变限积分增强版：内层积分的被积函数和积分上下限中都含有外层被积变量
一、题目
已知函数 $f(x)$ 连续，且 $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ $=$ $1$, $F(t)$ $=$ $\int_{1}^{t}\left[f(y) \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y$, 则 $F^{\prime}(2) = ?$
注意：本题中的“嵌套积分”只是对一个一元函数做了两次积分运算，并不是二元函数所对应的“二重积分”——嵌套积分与二重积分就像复合函数和二元函数。
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继续阅读“嵌套变限积分增强版：内层积分的被积函数和积分上下限中都含有外层被积变量”不是所有一阶导等于零的点都是极值点：也可能是拐点（函数凹凸性发生改变的点）
一、题目
设 $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}(x-2 t) f(x-t) \mathrm{d} t, f(x)$ 可导且 $f^{\prime}(x)$ $<$ $0$. 则可以得出关于函数 $F(x)$ 的极值和凹凸性上的哪些结论？
难度评级：
继续阅读“不是所有一阶导等于零的点都是极值点：也可能是拐点（函数凹凸性发生改变的点）”复合函数二阶导的题目：明确谁是谁的函数，谁是真自变量，谁是中间变量
一、题目
令 $x=\mathrm{e}^{t}$, 则，方程 $a x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+b x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+c y=0$ 可以转换为什么？
难度评级：
继续阅读“复合函数二阶导的题目：明确谁是谁的函数，谁是真自变量，谁是中间变量”二重嵌套变限积分的求导：积分时由内向外进行，求导时由外向内进行
一、题目
已知 $F(x)=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{y^{2}} \frac{\sin t}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t\right) \mathrm{d} y$, 则 $F^{\prime \prime}(x)= ?$
难度评级：
继续阅读“二重嵌套变限积分的求导：积分时由内向外进行，求导时由外向内进行”当变限积分中出现自变量和它的函数时，仍然按照一般的变限积分求导方法计算即可
一、题目
已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $x-y=\int_{1}^{x+y} \sin ^{2} t \mathrm{~d} t$ 确定, 则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = ?$
难度评级：
继续阅读“当变限积分中出现自变量和它的函数时，仍然按照一般的变限积分求导方法计算即可”参数方程求导：在一个等式的两个变量中，任意一个变量都可以看作另一个变量的函数
一、题目
已知：
$$
\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}=3 t^{2}+2 \pi t+1, \\ t \sin y=y-\frac{\pi}{2}, \end{array}\right.
$$
其中，$t \geqslant 0$.
则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“参数方程求导：在一个等式的两个变量中，任意一个变量都可以看作另一个变量的函数”反函数的导数等于其原函数导数的倒数
一、题目
已知函数 $y$ $=$ $\int_{0}^{2 x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t$ $+$ $1$, 则其反函数 $x=\varphi(y)$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}$ $=$ $?$
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继续阅读“反函数的导数等于其原函数导数的倒数”对底数和指数都含有自变量的式子进行求导时要先用 e 抬起变形
一、题目
已知函数 $f(x)=(\sin x)^{\cos x}$, $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $f^{\prime}(x)$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“对底数和指数都含有自变量的式子进行求导时要先用 e 抬起变形”复合函数求导的一个简单例题
一、题目
已知函数 $f(x)$ 连续且可微，且 $f^{\prime}(0)=1$, $\varphi(x)=\ln (1+2 x)$, 则 $\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f[\varphi(x)]\right)_{x=0}$ $=$ $?$
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继续阅读“复合函数求导的一个简单例题”求解一点处的导数时，不一定要用定义法
一、题目
已知：
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\arctan x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0,\end{array}\right.
$$
则 $f^{\prime}(x)$ $=$ $?$
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继续阅读“求解一点处的导数时，不一定要用定义法”求解三角函数问题时不要忘记利用其周期性
一、题目
$$
I = \int_{\pi}^{\frac{3}{2} \pi} \sin ^{2} \theta \cos ^{5} \theta \mathrm{d} \theta = ?
$$
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继续阅读“求解三角函数问题时不要忘记利用其周期性”对变限积分做求导运算之后，要再通过积分运算变回来的话，需要保持原本的积分上下限不变
一、题目
若函数 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t$, $x > 0$, 则 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“对变限积分做求导运算之后，要再通过积分运算变回来的话，需要保持原本的积分上下限不变”