双剑合一：联合积分

一、题目

$$
I_{1} = \int \cos ^4 x \mathrm{~d} x = ?
$$

$$
I_{2} = \int \sin ^4 x \mathrm{~d} x = ?
$$

二、解析

本文涉及 $\sin$ 与 $\cos$ 这两个三角函数的 $4$ 次方，虽然 $4$ 次方只比 $2$ 次方多了一点，但是仍然有很多属于 $2$ 次方的性质是不能用的，类似的例子可以查看荒原之梦网的下面这篇文章：

《$\sin^{4} x$ $+$ $\cos^{4} x$ 等于 $1$ 吗？》

介于本题对 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 这两个式子进行各个击破的难度比较高，因此，我们可以采取将 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 联合计算的方式进行求解。

本题求解过程中所用到的一些公式可以查看：《考研数学中常用的三角函数公式汇总》

Next

$$
I_{1} + I_{2} =
$$

$$
\int \cos ^4 x \mathrm{~d} x + \int \sin ^4 x \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int (\cos ^4 x + \sin ^4 x) \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int [(\cos ^2 x + \sin ^2 x)^{2} – 2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x ] \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int (1 – 2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x ) \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int [1 – 2 ( \sin x \cos x )^{2} ] \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int [1 – 2 ( \frac{1}{2} \sin 2x )^{2} ] \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int [1 – \frac{1}{2} ( \sin 2x )^{2} ] \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int \Big(1 – \frac{1}{2} \frac{1 – \cos 4 x}{2} \Big) \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int \Big[ 1 – \frac{1}{4} (1 – \cos 4 x) \Big] \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int \Big( 1 – \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x \Big) \mathrm{~d} x =
$$

$$
x – \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \sin 4x + C_{1} =
$$

$$
\frac{3}{4} x + \frac{1}{16} \sin 4x + C_{1}.
$$

Next

接着：

$$
I_{1} – I_{2} =
$$

$$
\int \cos ^4 x \mathrm{~d} x – \int \sin ^4 x \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int (\cos ^4 x – \sin ^4 x) \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int (\cos ^2 x + \sin ^2 x) (\cos ^2 x – \sin ^2 x) \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int (\cos ^2 x – \sin ^2 x) \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int \cos 2x \mathrm{d} x =
$$

$$
\frac{1}{2} \sin 2x + C_{2}.
$$

Next

即：

$$
\begin{cases}
& I_{1} + I_{2} = \frac{3}{4} x + \frac{1}{16} \sin 4x + C_{1} \\
& I_{1} – I_{2} = \frac{1}{2} \sin 2x + C_{2}
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
I_{1} = \frac{1}{2} (\frac{3}{4} x + \frac{1}{16} \sin 4x + \frac{1}{2} \sin 2x) + C_{3} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
I_{1} = \frac{3}{8} x + \frac{1}{32} \sin 4x + \frac{1}{4} \sin 2x + C_{3}
}
$$

$$
I_{2} = \frac{1}{2} (\frac{3}{4} x + \frac{1}{16} \sin 4x – \frac{1}{2} \sin 2x) + C_{4} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
I_{2} = \frac{3}{8} x + \frac{1}{32} \sin 4x – \frac{1}{4} \sin 2x + C_{4}
}
$$

其中，$C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$, $C_{4}$ 均为任意常数。

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