高等数学 e 抬起计算法的原理

一、前言

在高等数学的题目中，为了简化幂函数或者指数函数的运算，通常可以使用下面的式子进行 $e$ 抬起：

$$
\textcolor{orange}{\triangle} = e^{\ln \textcolor{orange}{\triangle} }
$$

其中，$\textcolor{orange}{\triangle}$ 就是要被“抬起”的原来的式子。

二、正文

性质

$e$ 抬起除了改变了式子的原有形式之外，并不会改变式子本身的值，原因如下：

$$
\textcolor{orange}{\triangle} = \textcolor{red}{e}^{\ln \textcolor{orange}{\triangle} } \Rightarrow
$$

$$
\ln \textcolor{orange}{\triangle} = \log_{ \textcolor{red}{e} } ^{ \textcolor{orange}{\triangle} }.
$$

Next

此外，由于对数函数的性质，$e$ 抬起通常还可以用于消去“上标”中的幂或指数，例如：

$$
\textcolor{orange}{\triangle} ^{a} = \textcolor{red}{e}^{\ln \textcolor{orange}{\triangle} ^{a} } \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{\triangle} ^{a} = \textcolor{red}{e}^{a \ln \textcolor{orange}{\triangle} }.
$$

例题 一

题目：

已知 $f(x) = x^{\sin x}$ $(x > 0)$, 则 $f^{\prime}(x) = ?$

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解析：

$$
f(x) = e ^{\sin x \ln x} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime} (x) = (e ^{\sin x \ln x}) \cdot (\sin x \ln x)^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime} (x) = (e ^{\sin x \ln x}) \cdot (\cos x \ln x + \frac{1}{x} \sin x) \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime} (x) = x^{\sin x} \cdot (\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} ).
$$

例题 二

题目：

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{x}-1}{1-\cos x}=?
$$

解析：

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x \ln (1+x)}-1}{\frac{1}{2} x^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{\frac{1}{2} x^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\frac{1}{2} x^{2}}=2
$$

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更新记录：
第 01 次更新：2024 年 01 月 09 日