高等数学 e 抬起计算法的原理

一、前言

在高等数学的题目中，为了简化幂函数或者指数函数的运算，通常可以使用下面的式子进行 $e$ 抬起：

$$\mathrm{△}=e^{\ln \mathrm{△}}$$

其中，$\mathrm{△}$ 就是要被“抬起”的原来的式子。

二、正文

性质

$e$ 抬起除了改变了式子的原有形式之外，并不会改变式子本身的值，原因如下：

$$\mathrm{△}=e^{\ln \mathrm{△}}\Rightarrow$$

$$\ln \mathrm{△}={\log }_e^{\mathrm{△}}.$$

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此外，由于对数函数的性质，$e$ 抬起通常还可以用于消去“上标”中的幂或指数，例如：

$${\mathrm{△}}^a=e^{\ln {\mathrm{△}}^a}\Rightarrow$$

$${\mathrm{△}}^a=e^{a\ln \mathrm{△}}.$$

例题 一

题目：

已知 $f(x)=x^{\sin x}$ $(x>0)$, 则 $f^{\prime }(x)=?$

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解析：

$$f(x)=e^{\sin x\ln x}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=(e^{\sin x\ln x})\cdot (\sin x\ln x{)}^{\prime }\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=(e^{\sin x\ln x})\cdot (\cos x\ln x+\frac{1}{x}\sin x)\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=x^{\sin x}\cdot (\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}).$$

例题 二

题目：

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{(1+x{)}^x-1}{1-\cos x}=?$$

解析：

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{x\ln (1+x)}-1}{\frac{1}{2}{x}^2}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\ln (1+x)}{\frac{1}{2}{x}^2}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{\frac{1}{2}{x}^2}=2$$

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更新记录：
第 01 次更新：2024 年 01 月 09 日