月度归档： 2022 年 11 月

问题

已知，有幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$, 且，当 $n$ $\geq$ $N$ 时，该幂级数的系数 $a_{n}$ $\neq$ $0$.

若 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ $=$ $\rho$, 并且 $\rho$ $=$ $0$, 则该幂级数的收敛半径 $R$ $=$ $?$

选项

[A].   $R$ $=$ $-\infty$

[B].   $R$ $=$ $+\infty$

[C].   $R$ $=$ $\frac{1}{\rho}$

[D].   $R$ $=$ $0$

   答 案   

$R$ $=$ $+\infty$

问题

已知，有幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$, 且，当 $n$ $\geq$ $N$ 时，该幂级数的系数 $a_{n}$ $\neq$ $0$.

若 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ $=$ $\rho$, 并且 $0$ $<$ $\rho$ $<$ $+\infty$, 则该幂级数的收敛半径 $R$ $=$ $?$

选项

[A].   $R$ $=$ $\frac{1}{\rho}$

[B].   $R$ $=$ $\rho^{2}$

[C].   $R$ $=$ $\frac{-1}{\rho}$

[D].   $R$ $=$ $\rho$

   答 案   

$R$ $=$ $\frac{1}{\rho}$

问题

以下哪个是关于 $($ $x$ $-$ $x_{0}$ $)$ 的幂级数？

选项

[A].   $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $n^{\left(x-x_{0}\right)}$

[B].   $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $\left(x-x_{0}\right)$

[C].   $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $\left(x-x_{0}\right)^{n}$

[D].   $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\left(x-x_{0}\right)^{a_{n}}$

   答 案   

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $\left(x-x_{0}\right)^{n}$

问题

以下哪个是关于 $x$ 的幂级数？

选项

[A].   $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $n^{x}$

[B].   $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x$

[C].   $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$

[D].   $\sum_{n=0}^{\infty}$ $x^{a_{n}}$

   答 案   

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$

问题

当交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $(-1)^{n-1}$ $u_{n}$ $($ $u_{n}$ $>$ $0$ $)$ 满足以下哪个选项中的条件时，可以说明该交错级数收敛？

选项

[A].   $u_{n}$ $\leq$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$

[B].   $u_{n}$ $\geq$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $1$

[C].   $u_{n}$ $\geq$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 或 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$

[D].   $u_{n}$ $\geq$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$

   答 案   

若 $u_{n}$ $\geq$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$, 则，该交错级数收敛，并且，其和 $S$ $\leqslant$ $u_{1}$, 余项 $|$ $R_{n}$ $|$ $\leqslant$ $u_{n+1}$.

问题

根据条件收敛的结论，若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 条件收敛，则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].   $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 中所有正项所构成的级数一定发散，所有负项所构成的级数一定收敛

[B].   $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散

[C].   $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定收敛

[D].   $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散

   答 案   

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散

问题

根据绝对收敛的结论，若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛，则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].   $\big|$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ $\big|$ 必收敛

[B].   $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 可能收敛

[C].   $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 必发散

[D].   $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 必收敛

   答 案   

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 必收敛

问题

已知，有一任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 则，根据绝对收敛的定义，以下哪个选项可以说明 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 条件收敛？

选项

[A].   $\big|$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ $\big|$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

[B].   $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

[C].   $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

[D].   $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

   答 案   

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛

问题

已知，有一任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 则，根据绝对收敛的定义，以下哪个选项可以说明 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 绝对收敛？

选项

[A].   $\big|$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛

[B].   $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

[C].   $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散

[D].   $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛

   答 案   

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 有 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于 $u_{n}$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A].   收敛

[B].   发散

[C].   无法确定

   答 案   

收敛

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 有 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于 $u_{n}$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A].   无法确定

[B].   收敛

[C].   发散

   答 案   

无法确定

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 有 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $>$ $1$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于 $u_{n}$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A].   收敛

[B].   发散

[C].   无法确定

   答 案   

发散

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$ ,$2$, $\cdots$, 则，当 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于通项 $u_{n}$ 中含有 $n !$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A].   收敛

[B].   无法判断

[C].   发散

   答 案   

收敛

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$ ,$2$, $\cdots$, 则，当 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于通项 $u_{n}$ 中含有 $n !$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A].   发散

[B].   无法判断

[C].   收敛

   答 案   

无法判断

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$ ,$2$, $\cdots$, 则，当 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $>$ $1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于通项 $u_{n}$ 中含有 $n !$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A].   发散

[B].   无法判断

[C].   收敛

   答 案   

发散