月度归档： 2022 年 11 月

问题

已知，有幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $x^n$, 且，当 $n$ $\ge$ $N$ 时，该幂级数的系数 $a_n$ $\ne$ $0$.

若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ $=$ $\rho$, 并且 $\rho$ $=$ $0$, 则该幂级数的收敛半径 $R$ $=$ $?$

选项

[A].   $R$ $=$ $+\mathrm{\infty }$

[B].   $R$ $=$ $\frac{1}{\rho }$

[C].   $R$ $=$ $0$

[D].   $R$ $=$ $-\mathrm{\infty }$

   答 案   

$R$ $=$ $+\mathrm{\infty }$

问题

已知，有幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $x^n$, 且，当 $n$ $\ge$ $N$ 时，该幂级数的系数 $a_n$ $\ne$ $0$.

若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ $=$ $\rho$, 并且 $0$ $<$ $\rho$ $<$ $+\mathrm{\infty }$, 则该幂级数的收敛半径 $R$ $=$ $?$

选项

[A].   $R$ $=$ $\rho$

[B].   $R$ $=$ $\frac{1}{\rho }$

[C].   $R$ $=$ ${\rho }^2$

[D].   $R$ $=$ $\frac{-1}{\rho }$

   答 案   

$R$ $=$ $\frac{1}{\rho }$

问题

以下哪个是关于 $($ $x$ $-$ $x_0$ $)$ 的幂级数？

选项

[A].   $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ ${(x-x_0)}^n$

[B].   $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ ${(x-x_0)}^{a_n}$

[C].   $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $n^{(x-x_0)}$

[D].   $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $(x-x_0)$

   答 案   

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ ${(x-x_0)}^n$

问题

以下哪个是关于 $x$ 的幂级数？

选项

[A].   $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $x$

[B].   $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $x^n$

[C].   $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $x^{a_n}$

[D].   $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $n^x$

   答 案   

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $x^n$

问题

当交错级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^{n-1}$ $u_n$ $($ $u_n$ $>$ $0$ $)$ 满足以下哪个选项中的条件时，可以说明该交错级数收敛？

选项

[A].   $u_n$ $\ge$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $u_n$ $=$ $1$

[B].   $u_n$ $\ge$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 或 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $u_n$ $=$ $0$

[C].   $u_n$ $\ge$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $u_n$ $=$ $0$

[D].   $u_n$ $\le$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $u_n$ $=$ $0$

   答 案   

若 $u_n$ $\ge$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $u_n$ $=$ $0$, 则，该交错级数收敛，并且，其和 $S$ $⩽$ $u_1$, 余项 $|$ $R_n$ $|$ $⩽$ $u_{n+1}$.

问题

根据条件收敛的结论，若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 条件收敛，则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定收敛

[B].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散

[C].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 中所有正项所构成的级数一定发散，所有负项所构成的级数一定收敛

[D].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散

   答 案   

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散

问题

根据绝对收敛的结论，若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 收敛，则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 可能收敛

[B].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 必发散

[C].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 必收敛

[D].   $|$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ $|$ 必收敛

   答 案   

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 必收敛

问题

已知，有一任意项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$, 则，根据绝对收敛的定义，以下哪个选项可以说明 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 条件收敛？

选项

[A].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 发散，且 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛

[B].   $|$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ $|$ 发散，且 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛

[C].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 发散，且 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散

[D].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 发散，且 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛

   答 案   

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 收敛

问题

已知，有一任意项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$, 则，根据绝对收敛的定义，以下哪个选项可以说明 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 绝对收敛？

选项

[A].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛

[B].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 发散

[C].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 收敛

[D].   $|$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ $|$ 收敛

   答 案   

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 收敛

问题

已知 $u_n$ $\ge$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$, 有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\sqrt[n]{u_n}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$, 则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 的敛散性如何？

（适用于 $u_n$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A].   收敛

[B].   发散

[C].   无法确定

   答 案   

收敛

问题

已知 $u_n$ $\ge$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$, 有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\sqrt[n]{u_n}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$, 则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 的敛散性如何？

（适用于 $u_n$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A].   发散

[B].   无法确定

[C].   收敛

   答 案   

无法确定

问题

已知 $u_n$ $\ge$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$, 有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\sqrt[n]{u_n}$ $=$ $\rho$ $>$ $1$, 则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 的敛散性如何？

（适用于 $u_n$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A].   收敛

[B].   发散

[C].   无法确定

   答 案   

发散

问题

已知 $u_n$ $\ge$ $0$, $n$ $=$ $1$ ,$2$, $\cdots$, 则，当 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$ 时，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 的敛散性如何？

（适用于通项 $u_n$ 中含有 $n!$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A].   发散

[B].   收敛

[C].   无法判断

   答 案   

收敛

问题

已知 $u_n$ $\ge$ $0$, $n$ $=$ $1$ ,$2$, $\cdots$, 则，当 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$ 时，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 的敛散性如何？

（适用于通项 $u_n$ 中含有 $n!$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A].   发散

[B].   无法判断

[C].   收敛

   答 案   

无法判断

问题

已知 $u_n$ $\ge$ $0$, $n$ $=$ $1$ ,$2$, $\cdots$, 则，当 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ $=$ $\rho$ $>$ $1$ 时，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 的敛散性如何？

（适用于通项 $u_n$ 中含有 $n!$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A].   发散

[B].   无法判断

[C].   收敛

   答 案   

发散