分类： 考研数学

一、题目

把 $x^{2}$ 看成 $y$ 的函数,求解微分方程 $\left(y^{4}-3 x^{2}\right) \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} x=0$, 则该方程的通解是（ ）

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继续阅读“这个「反直觉」的微分方程你会解吗？”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 满足 $x f^{\prime}(x)-2 f(x)=-4 x$, 且由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1$ 以及 $x$ 轴可围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 $f(x)=?$

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继续阅读“一阶线性微分方程和极值结合的题目”

一、题目

方程 $\left(y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 满足条件 $y(1)=0$ 的特解为

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继续阅读“看上去像可分离变量的微分方程但“分不开”的时候，很可能就是齐次微分方程”

一、题目

已知 $y_{1}=\cos 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$, $y_{2}=\sin 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$ 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的两个解, $y_{3}=\cos 2 x$ 是它所对应的齐次方程的一个解，则该微分方程是？

难度评级：

继续阅读“如何根据微分方程的特解找出通解，进而还原这个微分方程？”

一、题目

$x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x \sin \frac{y^{\prime}}{x}$ 的通解是（ ）

难度评级：

继续阅读“遇到不能用公式的二阶微分方程怎么办：先尝试降为一阶微分方程”

一、题目

已知 $a>0$, 则：

$$
I=\int_{0}^{a} x^{3} \sqrt{\frac{x}{a-x}} \mathrm{~d} x=?
$$

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继续阅读“被积函数中的根式中没有平方项不能用三角代换怎么办：整体代换”

一、题目

$$
I=\int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“在计算无穷限积分的时候，要注意应用极限的思想”

一、题目

$$
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{\left(1+x^{2}\right)^{5 / 2}} \mathrm{~d} x=?
$$

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继续阅读“对于含有反三角函数的积分可以用对应的三角函数代换求解”

一、题目

已知 $C_{1}, C_{2}$ 是两个任意常数, 则函数 $y=C_{1} \mathrm{e}^{2 x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}-2 x \mathrm{e}^{-x}$ 满足的一个微分方程是：

(A) $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=6 \mathrm{e}^{-x}$

(B) $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=6 \mathrm{e}^{-x}$

(C) $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$

(D) $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$

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继续阅读“如何通过通解还原微分方程？”

一、题目

已知方程 $y^{\prime \prime}+q y=0$ 存在当 $x \rightarrow+\infty$ 时趋于零的非零解, 则：

(A) $q>0$

(B) $q \geqslant 0$

(C) $q<0$

(D) $q \leqslant 0$

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继续阅读“判断微分方程解的形式有时候需要分类讨论”

一、题目

由曲线 $y=\operatorname{ch} x=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 及三条直线 $x=-1$, $x=1$, $y=0$ 围成的曲边梯形绕 $Y$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于多少？

难度评级：

继续阅读“求旋转体的体积，但是不会画函数图像怎么办？”

一、题目

若 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫, 又 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x f(x)=l$, 则

(A) $l>0$

(B) $l=0$

(C) $l<0$

(D) 以上均不对

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继续阅读“涉及抽象函数的题目可以优先尝试举特例”

一、题目

若 $a>0, f(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续, 并且当 $0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}$ 时 $f(x)+f(a-x)=0$, 则 $\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$

(A) $>0$

(B) $<0$

(C) $=0$

(D) 不能确定符号

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继续阅读“解题思路：把要求解的式子的形式往已知的形式上凑”

一、题目

曲线 $y=(x+2) \mathrm{e}^{\frac{-1}{x}}$

(A) 仅有水平渐近线

(B) 仅有铅直渐近线

(C) 既有铅直又有水平渐近线

(D) 既有铅直又有斜渐近线

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继续阅读“对函数垂直渐近线的考察需要分「左右」两侧”