一、前言 ![前言 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/27d32864d84c052488cc5282d2051ce384fc5da0a8d27fd8250711674382591b80cf1f6df48c8b93891fe0874a5a5739d1bf2be3246a1c8cf0274958030b1195.svg)
大家在工科数学课程或者考研数学课程中都经常会用到“洛必达运算”,也就是对分式的分子和分母同时进行求导的一种运算。
其实,除了洛必达运算,还有与之对应的“同胞兄弟”:反向洛必达运算。
难度评级:
二、正文 ![正文 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/af6b708862ec6f1f0c1a7ba15c2c8a66966b14f7b21c47b5e4f8ef83641698a2806027d8f837e9012a4b01e4bd72058e6fec8535f6f7060df0dd343241a8b412.svg)
在做题或者考试的时候,适当的使用洛必达运算或者反向洛必达运算对解题十分有利。总的来说,这两种运算的有效性基于如下定理:
两个无穷小量或者无穷大量同时进行等价积分或求导运算之后,其比值保持不变。
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什么是“等价积分”:
我们知道,积分 $\int x \mathrm{~d} x$ $=$ $\frac{1}{x^{2}} + C$.
但是,当 $x \rightarrow 0$ 时,必然有 $\int x \mathrm{~d} x$ $=$ $0$, 因此,在等价积分中,必须有 $C = 0$, 因为只有这样,才有 $\lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{x^{2}} + C \right)$ $=$ $0$.
同理,在等价积分中,当 $x \rightarrow 0$ 时:$\int \sin x \mathrm{~d} x$ $=$ $1 – \cos x$
三、示例
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int x \mathrm{~d} x}{\int \sin x \mathrm{~d} x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 – \cos x} = 1
$$
$$
\textcolor{orangered}{ \boldsymbol{\upuparrows} }
$$
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x} = 1
}
}
$$
$$
\textcolor{orangered}{ \boldsymbol{\downdownarrows} }
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x)^{\prime}}{(\sin x)^{\prime}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos x} = 1
$$
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。