洛必达与反向洛必达运算

一、前言 前言 - 荒原之梦

大家在工科数学课程或者考研数学课程中都经常会用到“洛必达运算”,也就是对分式的分子和分母同时进行求导的一种运算。

其实,除了洛必达运算,还有与之对应的“同胞兄弟”:反向洛必达运算。

难度评级:

二、正文 正文 - 荒原之梦

在做题或者考试的时候,适当的使用洛必达运算或者反向洛必达运算对解题十分有利。总的来说,这两种运算的有效性基于如下定理:

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$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int x \mathrm{~d} x}{\int \sin x \mathrm{~d} x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 – \cos x} = 1
$$

$$
\textcolor{orangered}{ \boldsymbol{\upuparrows} }
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x} = 1
}
}
$$

$$
\textcolor{orangered}{ \boldsymbol{\downdownarrows} }
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x)^{\prime}}{(\sin x)^{\prime}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos x} = 1
$$


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