洛必达与反向洛必达运算

一、前言

大家在工科数学课程或者考研数学课程中都经常会用到“洛必达运算”，也就是对分式的分子和分母同时进行求导的一种运算。

其实，除了洛必达运算，还有与之对应的“同胞兄弟”：反向洛必达运算。

难度评级：

二、正文

在做题或者考试的时候，适当的使用洛必达运算或者反向洛必达运算对解题十分有利。总的来说，这两种运算的有效性基于如下定理：

两个无穷小量或者无穷大量同时进行等价积分或求导运算之后，其比值保持不变。

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什么是“等价积分”：

我们知道，积分 $\int x \mathrm{~d} x$ $=$ $\frac{1}{x^{2}} + C$.
但是，当 $x \rightarrow 0$ 时，必然有 $\int x \mathrm{~d} x$ $=$ $0$, 因此，在等价积分中，必须有 $C = 0$, 因为只有这样，才有 $\lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{x^{2}} + C \right)$ $=$ $0$.

同理，在等价积分中，当 $x \rightarrow 0$ 时：$\int \sin x \mathrm{~d} x$ $=$ $1 – \cos x$

三、示例

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int x \mathrm{~d} x}{\int \sin x \mathrm{~d} x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 – \cos x} = 1
$$

$$
\textcolor{orangered}{ \boldsymbol{\upuparrows} }
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin x} = 1
}
}
$$

$$
\textcolor{orangered}{ \boldsymbol{\downdownarrows} }
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x)^{\prime}}{(\sin x)^{\prime}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos x} = 1
$$

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