当分子中包含无穷多个因式的时候,该怎么计算极限?

一、题目题目 - 荒原之梦

$$
I = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(1-x) (1-\sqrt{x}) \cdots (1- \sqrt[n]{x})}{ (1-x)^{n} } = ?
$$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

$$
\begin{aligned}
I = & \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(1-x) (1-\sqrt{x}) \cdots (1- \sqrt[n]{x})}{ (1-x)^{n} } \\
= & \lim_{(x-1) \rightarrow 0} \frac{(1-x) [1-\sqrt{1 + (x-1)}] \cdots (1- \sqrt[n]{1 + (x-1)})}{ (1-x)^{n} } \\
= & \lim_{(x-1) \rightarrow 0} \frac{(1-x) [-\frac{1}{2} (x-1)] \cdots [-\frac{1}{n} (x-1)]}{(1-x)^{n}} \\
= & \lim_{(1-x) \rightarrow 0} \frac{(1-x) \frac{1}{2} (1-x) \cdots \frac{1}{n} (1-x)}{(1-x)^{n}} \\
= & \lim_{(1-x) \rightarrow 0} \frac{(1-x)^{n} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdots \frac{1}{n}}{(1-x)^{n}} = \frac{1}{n!}
\end{aligned}
$$


高等数学箭头 - 荒原之梦

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