考研数学 – 第 105 页

矩阵乘法运算的规律：$\boldsymbol{A B}$ $=$ $\boldsymbol{O}$（C008）

问题

根据矩阵乘法的运算规律，能否由 $\boldsymbol{A B}$ $=$ $\boldsymbol{O}$, 推出 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{O}$ $?$

选项

[A]. 能

[B]. 不能

答案

由 $\boldsymbol{A B}$ $=$ $\boldsymbol{O}$, 不能推出 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{O}$

矩阵乘法运算的规律：$\boldsymbol{A B}$ 与 $\boldsymbol{A C}$（C008）

问题

根据矩阵乘法的运算规律，当 $\boldsymbol{A}$ $\neq$ $\boldsymbol{O}$ 时，能否由 $\boldsymbol{A B}$ $=$ $\boldsymbol{A C}$ 推出 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{C}$ $?$

选项

[A]. 不能

[B]. 能

答案

当 $\boldsymbol{A}$ $\neq$ $\boldsymbol{O}$ 时，由 $\boldsymbol{A B}$ $=$ $\boldsymbol{A C}$ 不能推出 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{C}$

如何计算不定积分 $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$

一、题目

已知 $a$ 为常数，计算如下定积分：

$$
\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} \mathrm{d} x
$$

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矩阵乘法运算的规律：$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$（C008）

问题

根据矩阵乘法的运算规律，$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$ 有什么关系？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $>$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $-$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $<$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

答案

$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $\neq$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

矩阵乘法运算的规律：$\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{A}$（C008）

问题

根据矩阵乘法的运算规律，$\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $-$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{E}$

[B]. $\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{E}$ $=$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{A}$ $\neq$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{E}$

[D]. $\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $-$ $\boldsymbol{A}$

答案

$\boldsymbol{\textcolor{orange}{E}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{E}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}}$

矩阵乘法运算的规律：$\boldsymbol{C}$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$（C008）

问题

根据矩阵乘法的运算规律，$\boldsymbol{C}$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $?$

选项

[A]. $\boldsymbol{C}$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $|\boldsymbol{C}|$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $|\boldsymbol{C}|$ $\boldsymbol{B}$

[B]. $\boldsymbol{C}$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\boldsymbol{C A}$ $-$ $\boldsymbol{C B}$

[C]. $\boldsymbol{C}$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\boldsymbol{A C}$ $+$ $\boldsymbol{B C}$

[D]. $\boldsymbol{C}$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\boldsymbol{C A}$ $+$ $\boldsymbol{C B}$

答案

$\boldsymbol{\textcolor{cyan}{C}}$ $\textcolor{orange}{(}$ $\boldsymbol{\textcolor{yellow}{A}}$ $+$ $\boldsymbol{\textcolor{yellow}{B}}$ $\textcolor{orange}{)}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{C} \textcolor{yellow}{A}}$ $+$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{C} \textcolor{yellow}{B}}$

矩阵乘法运算的规律：$($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $\boldsymbol{C}$（C008）

问题

根据矩阵乘法的运算规律，$($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $\boldsymbol{C}$ $=$ $?$

选项

[A]. $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $\boldsymbol{C}$ $=$ $\boldsymbol{A B C}$

[B]. $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $\boldsymbol{C}$ $=$ $\boldsymbol{A C}$ $-$ $\boldsymbol{B C}$

[C]. $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $\boldsymbol{C}$ $=$ $\boldsymbol{C A}$ $+$ $\boldsymbol{C B}$

[D]. $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $\boldsymbol{C}$ $=$ $\boldsymbol{A C}$ $+$ $\boldsymbol{B C}$

答案

$\textcolor{orange}{(}$ $\boldsymbol{\textcolor{yellow}{A}}$ $+$ $\boldsymbol{\textcolor{yellow}{B}}$ $\textcolor{orange}{)}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{C}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{yellow}{A} \textcolor{cyan}{C}}$ $+$ $\boldsymbol{\textcolor{yellow}{B} \textcolor{cyan}{C}}$

矩阵乘法运算的规律：$\lambda$ $($ $\boldsymbol{A B}$ $)$（C008）

问题

已知，$\lambda$ 是常数，根据矩阵乘法的运算规律，$\lambda$ $($ $\boldsymbol{A B}$ $)$ $=$ $?$

选项

[A]. $\lambda$ $($ $\boldsymbol{A B}$ $)$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $($ $\lambda$ $|\boldsymbol{B}|$ $)$

[B]. $\lambda$ $($ $\boldsymbol{A B}$ $)$ $=$ $($ $\frac{1}{\lambda}$ $\boldsymbol{A}$ $)$ $\boldsymbol{B}$

[C]. $\lambda$ $($ $\boldsymbol{A B}$ $)$ $\neq$ $($ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ $)$ $\boldsymbol{B}$

[D]. $\lambda$ $($ $\boldsymbol{A B}$ $)$ $=$ $($ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ $)$ $\boldsymbol{B}$

答案

$\textcolor{cyan}{\lambda}$ $\textcolor{orange}{(}$ $\boldsymbol{A B}$ $\textcolor{orange}{)}$ $=$ $\textcolor{orange}{(}$ $\textcolor{cyan}{\lambda}$ $\boldsymbol{A}$ $\textcolor{orange}{)}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $\textcolor{orange}{(}$ $\textcolor{cyan}{\lambda}$ $\boldsymbol{B}$ $\textcolor{orange}{)}$

矩阵乘法运算的规律：$($ $\boldsymbol{A B}$ $)$ $\boldsymbol{C}$（C008）

问题

根据矩阵乘法的运算规律，$($ $\boldsymbol{A B}$ $)$ $\boldsymbol{C}$ $=$ $?$

选项

[A]. $($ $\boldsymbol{A B}$ $)$ $\boldsymbol{C}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $($ $\boldsymbol{B}$ $+$ $\boldsymbol{C}$ $)$

[B]. $($ $\boldsymbol{A B}$ $)$ $\boldsymbol{C}$ $\neq$ $\boldsymbol{A}$ $($ $\boldsymbol{B C}$ $)$

[C]. $($ $\boldsymbol{A B}$ $)$ $\boldsymbol{C}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $($ $\boldsymbol{B C}$ $)$

[D]. $($ $\boldsymbol{A B}$ $)$ $\boldsymbol{C}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $($ $\boldsymbol{B C}$ $)$

答案

$\textcolor{orange}{(}$ $\boldsymbol{A B}$ $\textcolor{orange}{)}$ $\boldsymbol{C}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $\textcolor{orange}{(}$ $\boldsymbol{B C}$ $\textcolor{orange}{)}$

矩阵的乘法运算（C008）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 0 & -1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

则，$\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

[B]. $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{bmatrix} 4 & 2\\ 7 & 5 \end{bmatrix}$

[C]. $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{bmatrix} 4 & 1\\ -1 & 1\\ 1 & 3 \end{bmatrix}$

[D]. $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{bmatrix} 4 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

答案

$\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

$3$ $=$ $1$ $\textcolor{orange}{\times}$ $3$ $\textcolor{cyan}{+}$ $(-1)$ $\textcolor{orange}{\times}$ $0$ $\textcolor{cyan}{+}$ $0$ $\textcolor{orange}{\times}$ $1$
$2$ $=$ $1$ $\textcolor{orange}{\times}$ $1$ $\textcolor{cyan}{+}$ $(-1)$ $\textcolor{orange}{\times}$ $(-1)$ $\textcolor{cyan}{+}$ $0$ $\textcolor{orange}{\times}$ $2$
$1$ $=$ $0$ $\textcolor{orange}{\times}$ $3$ $\textcolor{cyan}{+}$ $2$ $\textcolor{orange}{\times}$ $0$ $\textcolor{cyan}{+}$ $1$ $\textcolor{orange}{\times}$ $1$
$0$ $=$ $0$ $\textcolor{orange}{\times}$ $1$ $\textcolor{cyan}{+}$ $(-1)$ $\textcolor{orange}{\times}$ $2$ $\textcolor{cyan}{+}$ $1$ $\textcolor{orange}{\times}$ $2$

由两矩阵相乘所得矩阵的特征（C008）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{n \times s}$.

则，$\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 运算所得的矩阵 $\boldsymbol{C}$ 是一个几行几列的矩阵？

选项

[A]. $n$ 行 $s$ 列

[B]. $m$ 行 $n$ 列

[C]. $m$ 行 $s$ 列

[D]. $s$ 行 $m$ 列

答案

$\textcolor{orange}{m}$ 行 $\textcolor{cyan}{s}$ 列

矩阵乘法运算的基础（C008）

问题

以下哪个选项中的两个矩阵可以进行乘法运算？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{n \times m}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{m \times n}$

[C]. $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{n \times s}$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{m \times s}$

答案

$\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(a_{i j}\right)_{\textcolor{red}{m} \times \textcolor{cyan}{n}}$ 和 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left(b_{i j}\right)_{\textcolor{cyan}{n} \times \textcolor{orange}{s}}$

矩阵数乘的运算规律：$\lambda$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$（C008）

问题

根据矩阵数乘的运算规律，$\lambda$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $?$

选项

[A]. $\lambda$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ $-$ $\lambda$ $\boldsymbol{B}$

[B]. $\lambda$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ $\times$ $\lambda$ $\boldsymbol{B}$

[C]. $\lambda$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\lambda$ $\boldsymbol{B}$

[D]. $\lambda$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\lambda^{2}$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\lambda^{2}$ $\boldsymbol{B}$

答案

$\textcolor{orange}{\lambda}$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\textcolor{orange}{\lambda}$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\textcolor{orange}{\lambda}$ $\boldsymbol{B}$

矩阵数乘的运算规律：$($ $\lambda$ $+$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$（C008）

问题

根据矩阵数乘的运算规律，$($ $\lambda$ $+$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $?$

选项

[A]. $($ $\lambda$ $+$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\mu$ $\boldsymbol{A}$

[B]. $($ $\lambda$ $+$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{1}{\lambda}$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\frac{1}{\mu}$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $($ $\lambda$ $+$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ $-$ $\mu$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $($ $\lambda$ $+$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ $\times$ $\mu$ $\boldsymbol{A}$

答案

$($ $\textcolor{orange}{\lambda}$ $+$ $\textcolor{cyan}{\mu}$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\textcolor{orange}{\lambda}$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\textcolor{cyan}{\mu}$ $\boldsymbol{A}$

矩阵数乘的运算规律：$($ $\lambda$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$（C008）

问题

根据矩阵数乘的运算规律，$($ $\lambda$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $?$

选项

[A]. $($ $\lambda$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\lambda$ $($ $\mu$ $\boldsymbol{A}$ $)$

[B]. $($ $\lambda$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$ + $\mu$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $($ $\lambda$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\lambda}{\mu}$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $($ $\lambda$ $\mu$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $\neq$ $\lambda$ $($ $\mu$ $\boldsymbol{A}$ $)$

答案

$($ $\textcolor{orange}{\lambda}$ $\textcolor{cyan}{\mu}$ $)$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\textcolor{orange}{\lambda}$ $($ $\textcolor{cyan}{\mu}$ $\boldsymbol{A}$ $)$