分类： 线性代数

一、题目

已知，向量组 (Ⅰ): $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}\right)$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(a_{21}, a_{21}, a_{23}\right)$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}\right)$; 向量组 (II) : $\boldsymbol{\beta}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}\right)$, $\boldsymbol{\beta}_{2}=\left(a_{21}, a_{21}, a_{23}, a_{24}\right)$, $\boldsymbol{\beta}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34}\right)$, 则正确的命題是哪个？

(A) (I) 相关 $\Rightarrow$ (II) 相关

(B) (I) 无关 $\Rightarrow$ (II) 无关

(C) (II) 无关 $\Rightarrow$ (I) 无关

(D) (II) 相关 $\Rightarrow$ (I) 无关

难度评级：

继续阅读“向量：短无关则长无关，长相关则短相关”

一、题目

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关的充分必要条件是哪个？

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 均不是零向量

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 中任意 $s-1$ 个向量都线性无关

(C) 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}, \boldsymbol{\alpha}_{s+1}$ 线性无关

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$, 中每一个向量都不能由其余 $s-1$ 个向量线性表出

难度评级：

继续阅读“向量线性无关的充要条件：任一个向量都不能由其余向量线性表出”

一、题目

设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 的充分必要条件是：

(A) $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性相关

(B) $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关

(C) $\boldsymbol{A}$ 中每一个列向量都可由其他列向量线性表示

(D) $\boldsymbol{A}$ 中一定有 2 个列向量坐标成比例

难度评级：

继续阅读“行列式等于零的充要条件是什么？”

一、题目

设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_{1}\end{array}\right]$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_{2}\end{array}\right]$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_{3}\end{array}\right]$, $\boldsymbol{\alpha}_{4}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_{4}\end{array}\right]$, 其中 $c_{1}, c_{2}$, $c_{3}, c_{4}$ 为任意常数, 则下列向量组线性相关的是哪个？

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$

(C) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$

难度评级：

继续阅读“只要行列式有两行或者两列成比例，则组成该行列式的行或者列向量之间都是线性相关的”

一、题目

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(1, 1, t)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, t, 1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(t, 1,1)^{\mathrm{\top}}\right.$ 线性相关, 而 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(1,3, 2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}=(2,7, t+4)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(0, t+2,3)^{\mathrm{\top}}$ 线性无关, 则 $t = ?$

难度评级：

继续阅读“线性相关的行列式等于零，线性无关的行列式不等于零”

一、题目

当向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$, 线性相关时,使等式 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0}$

成立的常数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k$, 是

(A) 某些全不为 0 的常数

(B) 任意一组不全为 0 的常数

(C) 唯-一组不全为 0 的常数

(D) 无穷多组特定的不全为 0 的常数

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继续阅读“使线性无关的向量组和等于零的系数有无数组”

一、题目

已知 $A$ 是任意一个 $n$ 阶矩阵，则以下哪些矩阵是对称的？

(1) $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$; (2) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$; (3) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$; (4) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{*}$;
(5) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A}$

难度评级：

继续阅读“下面哪些矩阵是对称的？”

一、题目

已知 $\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{X}+\boldsymbol{B}$, 其中 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{X}=?$

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继续阅读“矩阵乘法和求逆运算都在这道题里了”

一、题目

已知 $A, B$ 均是 $n$ 阶可逆矩阵, 则以下错误的是哪个？

(A) $\left[\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}A^{-1} & O \\ O & B^{-1}\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{n} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{n}\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{n} \\ \boldsymbol{B}^{n} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$

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继续阅读“分块矩阵的逆运算和次方运算怎么算？”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$, 则 $|\boldsymbol{A}|$ 的代数余子式 $A_{11}+A_{12}+A_{13}=?$

难度评级：

继续阅读“注意啦：题目给出的是逆矩阵，但是让求解的是原矩阵对应的行列式的代数余子式”

一、题目

矩阵 $\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0\end{array}\right]$ 的伴随矩阵为：

(A) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -b c \\ 0 & -a c & 0 \\ -a b & 0 & 0\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -a b \\ 0 & -a c & 0 \\ -b c & 0 & 0\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -b c \\ 0 & a c & 0 \\ -a b & 0 & 0\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -a b \\ 0 & a c & 0 \\ -b c & 0 & 0\end{array}\right]$

难度评级：

继续阅读“在选择题中求解伴随矩阵的两种常用方法”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵, 则下列命题中正确的是哪个？

(A) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O} \textcolor{orangered}{ \Leftrightarrow } \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$
(B) 如 $A B=O$, 则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
(C) 如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$
(D) 如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$

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继续阅读“注意命题表述的区别：“则”是单向的，“等价”是双向的”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵, 则以下运算正确的是哪个？

(A) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})=\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{B}^{2}$

(B) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$

(C) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2}$

(D) $(A B)^{*}=B^{*} A^{*}$

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继续阅读“数字的运算规律不能简单的套用到矩阵上”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵, $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵, $\boldsymbol{\Lambda}_{1}$, $\Lambda_{2}$ 都是 $n$ 阶对角矩阵, 在下列运算中, 交换律一定成立的是哪个或者哪些？

(1) $A A^{*}=A^{*} A$

(2) $\Lambda_{1} \Lambda_{2}=\Lambda_{2} \Lambda_{1}$

(3) $A^{m} A^{t}=A^{t} A^{m}$

(4) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A}$

(5) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\Lambda}_{1}=\boldsymbol{\Lambda}_{1} \boldsymbol{A}$

(6) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})$

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继续阅读“你知道哪些矩阵运算满足交换律吗？”

一、题目

已知 $\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{ccccc}0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & & 1 \\ & & & & 0\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{A}=\left[a_{i j}\right]$ 都是 $n$ 阶矩阵，则 $\boldsymbol{ AJ } = ?$

难度评级：

继续阅读“抽象矩阵空白的地方默认都是元素 “0””