若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 则下面不正确的运算是哪个？
(A) $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}$
(B) $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$
(C) $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}=|\boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}$
(D) $(k \boldsymbol{A})^{*}=k \boldsymbol{A}^{*}$
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继续阅读“伴随矩阵的运算性质你掌握了吗？”已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均 $n$ 阶可逆矩阵, 正确的公式为：
(A) $(3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{\top}}=\frac{1}{3} \boldsymbol{B}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$
(B) $(5 \boldsymbol{A B})^{-1}=5 \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}$
(C) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$
(D) $(3 \boldsymbol{A}+5 \boldsymbol{B})^{\mathrm{\top}}=3 \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}+5 \boldsymbol{B}^{\mathrm{\top}}$
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继续阅读“在矩阵转置和求逆运算中，系数应该遵循什么运算规则？”已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵,下列命题中正确的是哪个？
(A) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O} \Leftrightarrow \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
(B) $\boldsymbol{A B} \neq \boldsymbol{O} \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$
(C) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O} \Rightarrow|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$
(D) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O} \Rightarrow|\boldsymbol{A}| \neq 0$ 且 $|\boldsymbol{B}| \neq 0$
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继续阅读“注意命题推导的箭头“指向””已知 $A$ 是 $n$ 阶可逆阵，则下列等式不成立的是哪个？
(A) $\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{E}+\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{2}$
(B) $\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}+\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}\right)^{2}$
(C) $\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{*}\right)^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A A}^{*}+\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{2}$
(D) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$
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继续阅读“你知道转置矩阵和逆矩阵、伴随矩阵、单位矩阵的这一个区别吗？”已知 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵, 则运算法则中错误的是哪个？
(A) $(A+B)+C=(C+B)+A$
(B) $(A B) C=A(B C)$
(C) $(A+B) C=A C+B C$
(D) $A(B+C)=B A + C A$
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继续阅读“矩阵相乘一般不能交换”与矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 合同的矩阵是哪个？
(A) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{lll}-1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right]$
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继续阅读“合同矩阵有什么性质？什么样的矩阵属于合同矩阵？”若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$, 若 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 正定, 则 $k$ 的取值范围是多少？
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继续阅读“正定矩阵的特征值全部大于零”下面的矩阵中，正定矩阵是哪一个？
⟬A⟭ $\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6\end{array}\right]$
⟬B⟭ $\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 3 \\ 0 & 3 & 8\end{array}\right]$
⟬C⟭ $\left[\begin{array}{rrr}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right]$
⟬D⟭ $\left[\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right]$
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继续阅读“正定矩阵：各阶顺序主子式都大于零”已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $2 x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-4 x_{2} x_{3}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$, 则 $a$的取值范围是多少？
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继续阅读“由二次型的规范型反推未知数”二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}$ 的规范形是哪个？
(A) $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$
(B) $z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$
(C) $z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$
(D) $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$
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继续阅读“标准型是特征值，规范型是正负 1”若二次型 $x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+8 x_{2} x_{3}$, 在下列矩阵运算中, 得到二次型的是：
(A) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 2 \\ -2 & 6 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$
(B) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ -2 & 5 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right] \boldsymbol{x}$
(C) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 4 \\ -2 & 4 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$
(D) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 4 \\ -2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$
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继续阅读“写二次型矩阵的时候一定要将二次型中一次项的系数平分后写在矩阵主对角线两侧吗？”已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则下列命题中正确的有：
(1) $\boldsymbol{A B} \sim \boldsymbol{B A}$
(2) $\boldsymbol{A}^{2} \sim \boldsymbol{B}^{2}$
(3) $\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}$
(4) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \sim \boldsymbol{B}^{\mathrm{\top}}$
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继续阅读“如果两个矩阵相似，那么这两个矩阵的哪些变体也是相似的？”已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,2,-1$, 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则下列矩阵中可逆矩阵是哪个？
(A) $\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}$
(B) $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E}$
(C) $\boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{E}$
(D) $\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$
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继续阅读“相似的矩阵秩一定相等”下列矩阵中, $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似的是哪个？
(A) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right]$
(B) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$
(C) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right]$
(D) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 1 & 3\end{array}\right]$
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继续阅读“秩不相等的矩阵一定不相似，主对角线上的元素不对应相等的矩阵一定不相似”下列矩阵中，不能相似对角化的是：
(A) $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right]$
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继续阅读“相似对角化的条件：所有特征向量都必须是线性无关的”