只有属于同一个特征值的特征向量在四则运算之后仍然是该特征值的特征向量

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, 特征值是 $2,2,-5$, $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 关于 $\lambda=2$ 的线性无关的特征向量, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 对应于 $\lambda=-5$ 的特征向量. 若 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{rr}2 & & \\ & 2 & \\ & & -5\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{P}$ 不能是：

(A) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{2},-\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$

(B) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, 5 \boldsymbol{\alpha}_{1}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$

(C) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$

(D) $\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$

难度评级：

二、解析

本来，当 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{rr}2 & & \\ & 2 & \\ & & -5\end{array}\right]$ 时，应该有：

$$
\boldsymbol{P} = \begin{bmatrix}
\alpha_{1} & & \\
& \alpha_{2} & \\
& & \alpha_{3}
\end{bmatrix}
$$

或者：

$$
\boldsymbol{P} = \begin{bmatrix}
\alpha_{2} & & \\
& \alpha_{1} & \\
& & \alpha_{3}
\end{bmatrix}
$$

但是，由于：

$$
A \alpha_{1} = 2 \alpha_{1} \Rightarrow
\begin{cases}
A (\textcolor{springgreen}{- \alpha_{1}}) = 2 (\textcolor{springgreen}{-\alpha_{1}}) \\
A(\textcolor{springgreen}{5 \alpha_{1}}) = 2 (\textcolor{springgreen}{5 \alpha_{1}}) \\
A(\textcolor{springgreen}{\alpha_{1} + \alpha_{2}}) = A \alpha_{1} + A \alpha_{2} = A (\textcolor{springgreen}{\alpha_{1} + \alpha_{2}})
\end{cases}
$$

因此，$-\alpha_{1}$, $5 \alpha_{1}$ 和 $\alpha_{1} + \alpha_{2}$ 都可以替代 $\alpha_{1}$.

Next

但是，由于 $\alpha_{2}$ 和 $\alpha_{3}$ 对应着不同的特征值，因此：

$$
A(\alpha_{2} + \alpha_{3}) = A \alpha_{2} + A \alpha_{3} = 2 \alpha_{2} – 5 \alpha_{3} \neq 2(\alpha_{2} + \alpha_{3})
$$

同理：

$$
A(\alpha_{1} + \alpha_{3}) = A \alpha_{1} + A \alpha_{3} = 2 \alpha_{1} – 5 \alpha_{3} \neq 2(\alpha_{1} + \alpha_{3})
$$

事实上，如果 $\alpha_{1}$ 和 $\alpha_{2}$ 是矩阵 $A$ 关于 $\lambda_{1}$ 的特征向量，则 $k_{1} \alpha_{1} + k_{2} \alpha_{2}$ 也是矩阵 $A$ 关于 $\lambda_{1}$ 的特征向量。

综上可知，本题正确选项为 D.

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