写二次型矩阵的时候一定要将二次型中一次项的系数平分后写在矩阵主对角线两侧吗？

一、题目

若二次型 $x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+8 x_{2} x_{3}$, 在下列矩阵运算中, 得到二次型的是：

(A) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 2 \\ -2 & 6 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

(B) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ -2 & 5 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

(C) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 4 \\ -2 & 4 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

(D) $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 4 \\ -2 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$

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二、解析

本题中，二次型矩阵的正确写法是：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{springgreen}{1} & -2 & 0 \\
-2 & \textcolor{springgreen}{3} & 4 \\
0 & 4 & \textcolor{springgreen}{5}
\end{bmatrix}
$$

但是，除了主对角线上的元素排列顺序不能变之外，主对角线对称位置上的元素如果不是平分的，虽然不能称之为“二次型矩阵”，但并不妨碍得到二次型，例如，A 选项中的式子 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 2 \\ -2 & 6 & 5\end{array}\right] \boldsymbol{x}$ 就可以还原出二次型。

于是可知，A 选项正确。

B 选项中主对角线元素的次序错误；
C 选项对 $x_{1} x_{2}$ 的系数分割错误；
D 选项对 $x_{2} x_{3}$ 的系数分割错误。

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