秩为 $1$ 的矩阵的特征值可能都等于零

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵, $r(\boldsymbol{A})=1$, 则 $\lambda=0$

(A) 必是 $A$ 的二重特征值

(B) 至少是 $A$ 的二重特征值

(C) 至多是 $\boldsymbol{A}$ 的二重特征值

(D) 一重、二重、三重特征值都有可能

难度评级：

二、解析

由于：

$$
(\lambda E – A) x = 0 \Rightarrow
$$

$$
(0E – A) x = 0
$$

又：

$$
r(A) = 1 \Rightarrow r(0E – A) = 1
$$

因此，当 $\lambda = 0$ 时，即方程组 $(0E – A) x = 0$ 至少有两个线性无关的特征向量，此时，$\lambda = 0$ 是二重特征值。

此时：

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$

又因为当 $r(A) = 0$ 时存在如下情况：

$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$

因此，$\lambda = 0$ 也可能是三重特征值。

综上可知，B 选项正确。

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