在选择题中如何寻找特征向量：只要前两项没有公倍数就不用往后算了

一、题目

矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & -4 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & -3\end{array}\right]$ 有一个特征向量是：

(A) $(1,0,-1)^{\mathrm{\top}}$

(B) $(3,3,-6)^{\mathrm{\top}}$

(C) $(4,-1,2)^{\mathrm{\top}}$

(D) $(1,1,-2)^{\mathrm{\top}}$

难度评级：

二、解析

当 $\alpha$ 是特征值的时候，$k \alpha$（$k$ 为任意实数）也是对应矩阵的特征值，因此，如果 B 选项正确，则 D 选项也正确，即 B, D 两选项都不正确。

又根据 $A \alpha = \lambda \alpha$ 可知：

对于 A 选项：

$$
\begin{bmatrix}
3 & -4 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & -3
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
7 \\
0 \\
5
\end{bmatrix}
$$

由于 $\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}
7 \\
0 \\
5
\end{bmatrix}$ 不成比例，因此 A 选项错误。

C 选项：

$$
\begin{bmatrix}
3 & -4 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & -3
\end{bmatrix} \textcolor{springgreen}{ \begin{bmatrix}
4 \\
-1 \\
2
\end{bmatrix} } = \textcolor{springgreen}{ \begin{bmatrix}
8 \\
-2 \\
4
\end{bmatrix} }
$$

由于 $\textcolor{springgreen}{\begin{bmatrix}
4 \\
-1 \\
2
\end{bmatrix}}$ 与 $\textcolor{springgreen}{\begin{bmatrix}
8 \\
-2 \\
4
\end{bmatrix}}$ 成比例，因此 C 选项正确。

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