通过基础解系找到系数矩阵中线性无关的列向量

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right]$ 是四阶矩阵，$\boldsymbol{\eta}_{1}=(1,-2,3,1)^{\mathrm{\top}}$ 和 $\boldsymbol{\eta}_{2}=(0,1,0,-2)^{\mathrm{\top}}$ 是 $A x=0$ 的基础解系，则必有：

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关

(C) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关

难度评级：

二、解析

$4$ 个列向量的行列式的基础解系中存在 $2$ 个解向量，因此，该行列式中线性无关的列向量的个数为：

$$
4 – 2 = 2
$$

因此，一定存在 $2$ 个线性无关的列向量，于是可知，选项 A、C 错误。

又：

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}) \eta_{2} = 0 \Rightarrow
$$

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}) \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
-2
\end{bmatrix} = 0 \Rightarrow \alpha_{2} – 2 \alpha_{4} = 0
$$

即列向量 $\alpha_{2}$ 和 $\alpha_{4}$ 线性相关，因此，B 选项错误。

综上可知，本题正确答案为 D.

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