一、前言 
一个 $n$ 阶行列式的展开式有多少项？在本文中，荒原之梦考研数学就通过实际计算和演示推理，给同学们讲明白，为什么 $n$ 阶行列式的展开式中有 $n!$ 个项。
继续阅读“n阶行列式的展开项有n!个”分类： 线性代数
2023年考研数二第22题解析：根据矩阵乘法凑出隐含的矩阵、矩阵的特征值和特征向量
一、题目
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足：对任意 $x _{ 1 }$, $x _{ 2 }$, $x _{ 3 }$ 均有 $\boldsymbol{A} \left( \begin{array} { c } x _{ 1 } \\ x _{ 2 } \\ x _{ 3 } \end{array} \right)$ $=$ $\left( \begin{array} { c } x _{ 1 } + x _{ 2 } + x _{ 3 } \\ 2 x _{ 1 } – x _{ 2 } + x _{ 3 } \\ x _{ 2 } – x _{ 3 } \end{array} \right)$
(1) 求 $\boldsymbol{A}$;
(2) 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 与对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$, 使得 $\boldsymbol{P ^ { – 1 } A P}$ $=$ $\boldsymbol{\Lambda}$.
难度评级：
继续阅读“2023年考研数二第22题解析：根据矩阵乘法凑出隐含的矩阵、矩阵的特征值和特征向量”矩阵乘法不能随便“拆”：一拆就可能“变味”了
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$, $\boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶方阵，且 $\boldsymbol{A B C}$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 其中，$\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则下面的式子一定成立的是哪个？
(A) $\boldsymbol{A C B}$ $=$ $\boldsymbol{E}$
(B) $\boldsymbol{C B A}$ $=$ $\boldsymbol{E}$
(C) $\boldsymbol{B C A}$ $=$ $\boldsymbol{E}$
(D) $\boldsymbol{B A C}$ $=$ $\boldsymbol{E}$
难度评级：
继续阅读“矩阵乘法不能随便“拆”：一拆就可能“变味”了”转置运算可以用来引入矩阵乘法
一、题目
已知 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵，若 $|A|$ $=$ $1$, 请证明当 $n$ 为奇数时，有 $| \boldsymbol { E } – \boldsymbol { A } |$ $=$ $0$.
难度评级：
继续阅读“转置运算可以用来引入矩阵乘法”行列式|A-B|和|B-A|有什么关系？
行列式“剥洋葱”：对于行或者列之间存在普遍规律的行列式可以尝试先提取其“公共部分”
一、题目
已知 $a _{ i }$ $\neq$ $0$ ($i$ $=$ $1$, $2$, $3$, $4$), 则：
$$
|V| =
\begin{vmatrix}
& a_{1}^{3} & a_{1}^{2}b_{1} & a_{1}b_{1}^{2} & b_{1}^{3} & \\ \\
& a_{2}^{3} & a_{2}^{2}b_{2} & a_{2}b_{2}^{2} & b_{2}^{3} & \\ \\
& a_{3}^{3} & a_{3}^{2}b_{3} & a_{3}b_{3}^{2} & b_{3}^{3} & \\ \\
& a_{4}^{3} & a_{4}^{2}b_{4} & a_{4}b_{4}^{2} & b_{4}^{3} &
\end{vmatrix} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“行列式“剥洋葱”：对于行或者列之间存在普遍规律的行列式可以尝试先提取其“公共部分””通过化简，我们可以直接完成行列式的求解
一、题目
若行列式 $\begin{vmatrix}
x-5 & -6 & 3 \\
1 & x & -1 \\
-1 & -2 & x-1
\end{vmatrix}$ $=$ $0$, 那么，$x$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“通过化简，我们可以直接完成行列式的求解”考研数学中那些“各种各样”的矩阵
一、前言
在本文中，荒原之梦考研数学网（zhaokaifeng.com）将考研数学中常用的矩阵都做了一个汇总，方便同学们对不同矩阵的性质做对比，从而更深刻的理解这些矩阵之间的区别、联系与性质。
继续阅读“考研数学中那些“各种各样”的矩阵”伴随矩阵的特征值与原矩阵的特征值之间有什么关系？
一、题目
已知 $\alpha$ $=$ $[ 1 , 3 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, $\beta$ $=$ $[ 1 , – 1 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, 且矩阵 $A$ 与 $\alpha \beta ^ { \mathrm { \top } }$ 相似，那么 $( 2 A + E ) ^ { * }$ 的特征值是多少？
难度评级：
继续阅读“伴随矩阵的特征值与原矩阵的特征值之间有什么关系？”单位矩阵很可能“引”出来互逆矩阵
一、题目
已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$ 和 $\boldsymbol { C }$ 满足关系式 $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B C }$ $=$ $\boldsymbol { E }$, 其中 $\boldsymbol { E }$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则以下结论正确的是哪个？
(A) $\boldsymbol { A } \boldsymbol { C B }$ $=$ $\boldsymbol { E }$
(B) $\boldsymbol { C B } \boldsymbol { A }$ $=$ $\boldsymbol { E }$
(C) $\boldsymbol { B C A }$ $=$ $\boldsymbol { E }$
(D) $\boldsymbol { B A } \boldsymbol { C }$ $=$ $\boldsymbol { E }$
难度评级：
继续阅读“单位矩阵很可能“引”出来互逆矩阵”矩阵乘法中的矩阵不满足消去律和交换律，但矩阵对应的行列式满足消去律和交换律
一、题目
已知 $\boldsymbol { A }$ 与 $\boldsymbol { B }$ 为 $n$ 阶方阵，且 $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B } = \boldsymbol { O }$, 则一定有：
(A) $\boldsymbol { A }$ $=$ $\boldsymbol { O }$ 或 $\boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { O }$
(B) $| \boldsymbol { A } |$ $=$ $0$ 或 $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $0$
(C) $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { B } \boldsymbol { A }$
(D) $| \boldsymbol { A } |$ $+$ $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $0$
难度评级：
继续阅读“矩阵乘法中的矩阵不满足消去律和交换律，但矩阵对应的行列式满足消去律和交换律”用行列式表示的方程该怎么求根？
一、题目
记行列式 $\left| \begin{array} { c c c c } x – 2 & x – 1 & x – 2 & x – 3 \\ 2 x – 2 & 2 x – 1 & 2 x – 2 & 2 x – 3 \\ 3 x – 3 & 3 x – 2 & 4 x – 5 & 3 x – 5 \\ 4 x & 4 x – 3 & 5 x – 7 & 4 x – 3 \end{array} \right|$ 为 $f ( x )$, 则方程 $f ( x )$ $=$ $0$ 的实根的个数是多少？
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
难度评级：
继续阅读“用行列式表示的方程该怎么求根？”高阶行列式的计算思路：降阶或者找规律
一、题目
$$
\left| \begin{array} { c c c c c } a _{ 1 } & 0 & 0 & b _{ 1 } \\ 0 & a _{ 2 } & b _{ 2 } & 0 \\ 0 & b _{ 3 } & a _{ 3 } & 0 \\ b _{ 4 } & 0 & 0 & a _{ 4 } \end{array} \right| = ?
$$
(A) $a _{ 1 } a _{ 2 } a _{ 3 } a _{ 4 }$ $-$ $b _{ 1 } b _{ 2 } b _{ 3 } b _{ 4 }$
(B) $a _{ 1 } a _{ 2 } a _{ 3 } a _{ 4 }$ $+$ $b _{ 1 } b _{ 2 } b _{ 3 } b _{ 4 }$
(C) $\left( a _{ 2 } a _{ 3 } – b _{ 2 } b _{ 3 } \right)$ $\left( a _{ 1 } a _{ 4 } – b _{ 1 } b _{ 4 } \right)$
(D) $\left( a _{ 1 } a _{ 2 } – b _{ 1 } b _{ 2 } \right)$ $\left( a _{ 3 } a _{ 4 } – b _{ 3 } b _{ 4 } \right)$
难度评级：
继续阅读“高阶行列式的计算思路：降阶或者找规律”矩阵的加减运算：只有同型矩阵才可以做加减运算，所得的也是同型矩阵
一、前言
通过本文中，我们将解决下面的问题：
- 什么样的矩阵可以做加减运算？
- 实际矩阵的加减运算怎么做？
- 抽象矩阵的加减运算有哪些定理？
当特征值等于零的时候，求解特征值和特征向量的式子其实就是一个齐次线性方程组
一、题目
已知 $\boldsymbol { A }$ 是 $3$ 阶实对称矩阵， $\boldsymbol { \alpha }$ $=$ $( – 1 , 1 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$ 满足 $( \boldsymbol { A } – 2 \boldsymbol { E } ) \boldsymbol { \alpha }$ $=$ $0$, 且 $r ( \boldsymbol { A } )$ $=$ $1$, 则方程组 $\boldsymbol {A} x$ $=$ $0$ 的基础解系为：
A. $( 1 , 1 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , – 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} }$
B. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$
C. $( 1 , 1 , – 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$
D. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$
难度评级：
解 题 思 路 简 图
graph TD
A[原式] --> |变形| B[特征值] --> |公式| C[特征向量];
D[秩为 1] --> E[只有一个非零特征值] --> F[0 为二重特征值] --> |实对称矩阵| G[特征值对应的特征向量正交];
C --> G;
G --> H[求解特征值] --> |变形| I[验证选项]
继续阅读“当特征值等于零的时候，求解特征值和特征向量的式子其实就是一个齐次线性方程组”