相似对角化的条件：所有特征向量都必须是线性无关的

一、题目

下列矩阵中，不能相似对角化的是：

难度评级：

二、解析

三阶矩阵 $A$ 相似对角化的含义：

找到矩阵 $A$ 的三个特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 对应的特征向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$, 并令 $P = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$, 若 $P^{-1} A P = \begin{bmatrix}
\lambda_{1} & & \\
& \lambda_{2} & \\
& & \lambda_{3}
\end{bmatrix}$, 则说明矩阵 $A$ 可以相似对角化。

由此可见，假如 $A$ 的特征向量不是线性无关的，那么，就会有 $|P| = 0$, 也就是说此时的 $P$ 是不可逆的，这就不满足相似对角化的定义了。

由于实对称矩阵一定可以相似对角化，因此排除 D 选项。

又因为，上三角和下三角矩阵主对角线上的元素就是该矩阵的特征值，因此，我们可以直接确定 A、B、C 选项中矩阵对应的特征值。

由于 A 选项中矩阵的特征值各不相同，不同的特征值对应的特征向量一定是线性无关的，于是可知，A 选项中的矩阵一定可以相似对角化。

对于 C 选项：

$$
E-A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & 2\end{array}\right]
$$

于是可知，该矩阵的秩 $r=1$, 即二重特征值 $1$ 有 $3-1 = 2$ 个线性无关的特征向量，于是可知，该矩阵可以相似对角化。

对于 B 选项：

$$
E-A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
$$

于是可知，该矩阵的秩 $r=2$, 即二重特征值 $1$ 有 $3-2 = 2$ 个线性无关的特征向量，于是可知，该矩阵不可以相似对角化。

综上可知，本题正确选项为 B.

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