分类： 线性代数

一、题目

已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 满足 $|A| = \frac{1}{2}$, 则行列式：

$$
|(2 A)^{-1} – (2A)^{*}| = ?
$$

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一、题目

设 $A$ 和 $B$ 均为 $3$ 阶矩阵，且 $A$ 的特征值为 $-1$, $0$, $3$, $AB$ $+$ $A$ $=$ $B$ $+$ $2E$, 则与矩阵 $B^{-1} + E$ 相似的对角矩阵可以是 ($\quad$)

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一、题目

已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{2} – A – 2E = O$, 且 $|A| = 2$. 将 $A$ 的第 $1$ 列的 $2$ 倍加到第 $3$ 列，再将第 $3$ 行的 $-2$ 倍加到第 $1$ 行得 $B$, 则 $|B + 3 E| = ?$

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一、题目

已知二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $(x_{1} + x_{2})^{2}$ $+$ $(x_{1} – 2x_{3})^{2}$ $+$ $(x_{2} + a x_{3})^{2}$ 的规范型为 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$, 则 $a = ?$

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一、题目

若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，请证明 $AB$ 也为正定矩阵的充要条件是 $AB = BA$

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一、题目

已知 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，且 $|A+E| = 1$, $A+2E = 1$, $|A+3E| = 1$, 则 $A+4E = ?$

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