分类： 线性代数

一、题目

设 $3$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A} = \left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$, $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)$, 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 可以由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示，则（ ）

»A« $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解

»B« $\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解

»C« $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解

»D« $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解

难度评级：

一、题目

二次型 $f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}-\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）

»A« $2, 0$

»B« $1, 1$

»C« $2, 1$

»D« $1, 2$

难度评级：

一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & a
\end{pmatrix}$ 与 $\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix}
k & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ 合同.

（1）求 $a$ 的值及 $k$ 的取值范围；

（2）若存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}$, 求 $k$ 及 $\boldsymbol{Q}$.

难度评级：

一、题目

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \left( \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4} \right)$，若 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}$ 线性无关，且 $\boldsymbol{a}_{1} + \boldsymbol{a}_{2} = \boldsymbol{a}_{3} + \boldsymbol{a}_{4}$，则方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4}$ 的通解为 $\boldsymbol{x} = \underline{\qquad}$.

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二、答案

$\boldsymbol{x} = C \begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ -1 \\ -1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0 \\ 4
\end{pmatrix}$，其中 $C$ 为任意常数.

三、解析

分析可知，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4}$ 是一个非齐次线性方程组，非齐次线性方程组的通解由其特解和对应的齐次线性方程组的通解相加得到.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 于是，先求解对应的齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的通解（求解出组成通解的基础解系即可）：

由 $\boldsymbol{a}_{1} + \boldsymbol{a}_{2} = \boldsymbol{a}_{3} + \boldsymbol{a}_{4}$，得：

$$
\boldsymbol{a}_{4} = – \boldsymbol{a}_{1} – \boldsymbol{a}_{2} + \boldsymbol{a}_{3}
$$

于是可知，$\boldsymbol{a}_{4}$ 可由 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}$ 线性表示.

又因为 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}$ 线性无关，所以 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4}$ 线性相关，即：

$$
r \left( \boldsymbol{A} \right) = r \left( \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4} \right) = r \left( \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3} \right) = 3
$$

因此，齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的基础解系中含有一个解向量.

由 $\boldsymbol{a}_{1} + \boldsymbol{a}_{2} = \boldsymbol{a}_{3} + \boldsymbol{a}_{4}$ 得：

$$
\boldsymbol{a}_{1} + \boldsymbol{a}_{2} – \boldsymbol{a}_{3} – \boldsymbol{a}_{4} = \left( \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right) = 0
$$

从而 $\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{\xi} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right) }$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的基础解系.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 接着，求解非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4}$ 的特解：

由于 $\boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4} = \left( \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}, \boldsymbol{a}_{4} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) = \boldsymbol{A} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta}$，故 $\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{\eta} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) }$ 为方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4}$ 的特解.

综上可知，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{a}_{1} + 4 \boldsymbol{a}_{4}$ 通解为 $\boldsymbol{x} = C \boldsymbol{\xi} + \boldsymbol{\eta}$, 其中 $C$ 为任意常数.

一、题目

设 $3$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 满足 $\mathbf{r} \left(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\right) = \mathbf{r} \left(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\right)+1$, 则（ ）

»A«. 方程组 $\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\right)\boldsymbol{x}=0$ 只有零解

»B«. 方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 与方程组$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=0$ 均只有零解

»C«. 方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 与方程组 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=0$ 没有公共非零解

»D«. 方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0$ 与方程组 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=0$ 有公共非零解

一、题目

下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵 $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ 的是（ ）

A. $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 2 & 1 & 3\\
2 & 3 & 1 & 4
\end{pmatrix}$

B. $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 5\\
1 & 1 & 1 & 3
\end{pmatrix}$

C. $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 3\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$

D. $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 3\\
1 & 2 & 2 & 3\\
2 & 3 & 4 & 6
\end{pmatrix}$

一、题目

设矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 有一个正特征值和两个负特征值，则（ ）

»A«. $a>4, b>0$

»B«. $a<4, b>0$

»C«. $a>4, b<0$

»D«. $a<4, b<0$

难度评级：

一、题目

设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
1 & b & -1 \\
a + 2 & 3 & -3a
\end{pmatrix}$. 若二次型 $\boldsymbol{x}^{\top} (\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\top}) \boldsymbol{x}$ 的规范形为 $\boldsymbol{y}_{1}^{2}$, 则 $a + b =$____