二次型的可逆线性换元（变量替换）与矩阵的合同

一、前言

二次型的可逆线性换元（变量替换）本质上就是求原矩阵的合同矩阵，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过定义来说明为什么是这样的.

二、正文

首先，对二次型的换元（变量替换）就是为二次型 $f \left( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \right)$ 引进新变量 $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$，并且把 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 表示为它们的一次线性函数，即：

$$
\begin{cases}
\begin{aligned}
x_{1} &= c_{11} y_{1} + c_{12} y_{2} + \cdots + c_{1n} y_{n}, \\
x_{2} &= c_{21} y_{1} + c_{22} y_{2} + \cdots + c_{2n} y_{n}, \\
\vdots \\
x_{n} &= c_{n1} y_{1} + c_{n2} y_{2} + \cdots + c_{nn} y_{n},
\end{aligned}
\end{cases}
$$

将上面的变换代入原二次型 $f \left( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \right)$, 就会得到关于变量 $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$ 的新二次型：

$$
g \left( y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n} \right)
$$

上面的过程就是对二次型 $f\left( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \right)$ 作线性变量替换（换元）的过程，其中包含的系数矩阵为：

$$
\boldsymbol{C} = \begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn}
\end{bmatrix}
$$

如果上面的矩阵 $\boldsymbol{C}$ 是一个可逆矩阵，则上面的线性变量替换就是一个可逆线性变量替换——由于不可逆的线性变量替换会导致二次型的惯性指数、秩、特征值等发生变换，产生“信息损失”，所以，我们对二次型做线性变量替换的时候，一般都是选择使用可逆矩阵，也就是说，对二次型做的线性变量替换一般都是可逆线性变量替换.

对于可逆线性变量替换，我们可以用矩阵乘积的形式进行表示.

例如，对于二次型 $f\left( x_{1}, \cdots, x_{n} \right) = \boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$, 如果令 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{C} \boldsymbol{y}$（其中，$\boldsymbol{C}$ 是一个可逆矩阵），则有：

$$
\begin{aligned}
f \left( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \right) & = \boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \\ \\
& = \boldsymbol{y}^{\top} \left( \boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} \right) \boldsymbol{y} \\ \\
& = g \left( y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n} \right)
\end{aligned}
$$

于是可知，二次型 $g \left( y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n} \right)$ 的矩阵为 $\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$.

那么，为什么二次型的可逆线性换元本质上就是矩阵的合同变换呢？这是由矩阵合同变换的定义决定的：

首先，对于两个 $n$ 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$, 如果存在可逆实矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得 $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$, 则称 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同.

又由前面的推导过程可知，经过 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{C} \boldsymbol{y}$ 的换元，将二次型由 $f \left( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \right)$ 变为 $g \left( y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n} \right)$ 的过程，实际上就是将二次型的矩阵由 $\boldsymbol{A}$ 变为 $\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$ 的过程，而根据矩阵合同的定义，矩阵 $\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$ 就是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的合同矩阵.

此外，关于二次型与矩阵合同之间的关系，还有下面这样一个定理：

两个二次型可以用可逆线性变量替换（可逆线性换元）互相转化的充分必要条件是：这两个矩阵互为矩阵合同.

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