2025年考研数二第09题解析：矩阵的初等变换

一、题目

A. $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 2 & 1 & 3\\
2 & 3 & 1 & 4
\end{pmatrix}$

B. $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 5\\
1 & 1 & 1 & 3
\end{pmatrix}$

C. $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 3\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$

D. $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 3\\
1 & 2 & 2 & 3\\
2 & 3 & 4 & 6
\end{pmatrix}$

难度评级：

二、解析

解法 1：逐个进行行变换后判断

使用本方法之前，先通过观察可知，只有 A 选项和 B 选项中的矩阵的第一行和题干中所给矩阵的第一行相同，因此，正确选项大概率会是 A 选项或者 B 选项，而不太可能是 C 选项或者 D 选项，因此，为了节约做题时间，对于 C 选项和 D 选项，我们可以不做验证.

A 选项：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 3 \\
2 & 3 & 1 & 4
\end{pmatrix} \xrightarrow [{\boldsymbol{r}_{2}-2\boldsymbol{r}_{1}}]{\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 2
\end{pmatrix} \xrightarrow []{\boldsymbol{r}_{3}-\boldsymbol{r}_{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

B 选项：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 5\\
1 & 1 & 1 & 3
\end{pmatrix} \xrightarrow [{\boldsymbol{r}_{3}-\boldsymbol{r}_{1}}]{\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 2 & 4\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix} \xrightarrow [{\boldsymbol{r}_{3}-\boldsymbol{r}_{2}}]{\boldsymbol{r}_{2}\div 2} \textcolor{lightgreen}{ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
}
$$

C 选项：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} \xrightarrow []{\frac{-1}{3} \left( \boldsymbol{r}_{3}-\boldsymbol{r}_{2} \right)} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

D 选项：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 & 6
\end{pmatrix} \xrightarrow [{\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}}]{\boldsymbol{r}_{3}-2\boldsymbol{r}_{1}} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} \xrightarrow []{\boldsymbol{r}_{3}-\boldsymbol{r}_{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

综上可知，本 题 应 选 B

方法 2：初等行变换不改变线性无关的行向量

方法 2 可以看作是对方法 1 的简化版.

观察可知，题干所给的矩阵 $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ 只有下面两个非零（线性无关）的行向量：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{r}_{1} = \begin{pmatrix}
1,1,0,1
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{r}_{2} = \begin{pmatrix}
0,0,1,2
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

因此，如果一个矩阵经过一定的初等行变换之后可以得到矩阵 $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$, 那么，这个矩阵的某些行经过一定的初等行变换之后，一定可以变成上面的 $\boldsymbol{r}_{1}$ 和 $\boldsymbol{r}_{2}$ 这两个行向量.

观察并计算可知，只有 B 选项中矩阵的行向量 $\boldsymbol{r}_{1}^{B} = \begin{pmatrix} 1, 1, 0, 1 \end{pmatrix}$, $\boldsymbol{r}_{2}^{B} = \begin{pmatrix} 0, 0, 1, 2 \end{pmatrix}$, $\boldsymbol{r}_{3}^{B} = \begin{pmatrix} 1, 1, 1, 3 \end{pmatrix}$ 可以经过下面的初等行变换之后得到 $\boldsymbol{r}_{1}$ 和 $\boldsymbol{r}_{2}$:

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{r}_{1}^{B} & = \boldsymbol{r}_{1} \\
\boldsymbol{r}_{2}^{B} – \boldsymbol{r}_{3}^{B} & = \boldsymbol{r}_{2}
\end{aligned}
$$

或者：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{r}_{1} & = \boldsymbol{r}_{1}^{B} \\
\boldsymbol{r}_{2}^{B} & = \boldsymbol{r}_{1} + 2 \boldsymbol{r}_{2} \\
\boldsymbol{r}_{3}^{B} & = \boldsymbol{r}_{1} + \boldsymbol{r}_{2}
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 B

方法 3：初等行变换不改变齐次线性方程组的解集

已知，初等行变换不会改变齐次线性方程组的解集（基础解系）. 也就是说，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 能经过若干初等行变换化为矩阵 $\boldsymbol{R}$, 那么，齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 与 $\boldsymbol{R} \boldsymbol{x} = 0$ 的解（集）相同.

首先，由矩阵 $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ 可得对应的齐次线性方程组为：

$$
\begin{cases}
x_{1} + x_{2} + x_{4} = 0 \\
x_{3}+2x_{4} = 0
\end{cases}
$$

解得：

$$
\begin{cases}
x_{1}=-x_{2}-x_{4} \\
x_{3}=-2x_{4}
\end{cases}
$$

接着，令 $x_{2} = s$, $x_{4} = t$, 则：

$$
\begin{aligned}
x & = \begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-s-t \\
s \\
-2t \\
t
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
– s – t \\
s + 0 \\
0 – 2t \\
0 + t
\end{pmatrix} \\ \\
& = \begin{pmatrix}
-s \\
s \\
0 \\
0
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
-t \\
0 \\
-2t \\
t
\end{pmatrix} \\ \\
& = s \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

所以 $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ 的基础解系由两个列向量组成：

$$
\boldsymbol{v}_{1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_{2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}
$$

于是，接下来，只需要将各个选项中的矩阵与上面两个列向量相乘（一般只跟向量 $\boldsymbol{v}_{1}$ 相乘即可完成判断），只要都得零向量，那么，该选项就是正确的：

A 选项：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 3 \\
2 & 3 & 1 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$

于是可知，A 选项不正确.

B 选项：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 5\\
1 & 1 & 1 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \textcolor{lightgreen}{ \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
}
$$

于是可知，B 选项正确.

C 选项：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 3\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$

于是可知，C 选项不正确.

D 选项：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 3\\
1 & 2 & 2 & 3\\
2 & 3 & 4 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
$$

于是可知，D 选项不正确.

综上可知，本 题 应 选 B

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