分类： 线性代数

一、题目

向量组 ${\mathit{\alpha }}_1=(2,1,3{)}^{\mathrm{T}}$, ${\mathit{\alpha }}_2=(1,2,1{)}^{\mathrm{T}}$, ${\mathit{\alpha }}_3=(3,3,4{)}^{\mathrm{T}}$, ${\mathit{\alpha }}_4=(5,1,8{)}^{\mathrm{T}}$, ${\mathit{\alpha }}_5=(0,0$, $2{)}^{\mathrm{T}}$ 的一个极大线性无关组是（）

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继续阅读“极大线性无关组就是所有线性无关向量的集合”

一、题目

已知向量组 ${\mathit{\alpha }}_1=(a,a,1{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_2=(a,1,a{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_3=(1,a,a{)}^{\mathrm{\top }}$ 的秩是 $2$, 则 $a=?$

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继续阅读“怎么保证这道题目中矩阵的秩为二：回头验证很重要”

一、题目

已知 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,1,-1{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_2=(1,-1,a{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_3=(a,2,1{)}^{\mathrm{\top }}$, $\mathit{\beta }={(4,-4,a^2)}^{\mathrm{\top }}$, $\mathit{\gamma }=$ $(a,b,c{)}^{\mathrm{\top }}$. 如 $\mathit{\beta }$ 可由 ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, ${\mathit{\alpha }}_3$ 线性表出, 但 $\mathit{\gamma }$ 不能由 ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, ${\mathit{\alpha }}_3$ 线性表示, 则 $a=?$

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继续阅读“化简列向量组只能使用初等行变换吗？不是的，但最好只使用初等行变换”

一、题目

已知 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& a& 4\\ 1& 0& 2& a\\ -1& a& 1& 0\end{array}\right]$, $r(\mathit{A})=3$, 则 $a$ 需要满足什么条件？

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继续阅读“秩与行阶梯形矩阵总是形影不离”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是 $5\times 4$ 矩阵，若 ${\mathit{\eta }}_1,{\mathit{\eta }}_2$ 是齐次方程组 $\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系, 则 $r\left({\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}\right)=?$

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继续阅读“基础解系中解的个数就是系数矩阵中自由未知数的个数”

一、题目

已知 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,4,2{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\alpha }}_2=(2,7,3{)}^{\mathrm{\top }},{\mathit{\alpha }}_3=(0,1,a{)}^{\mathrm{\top }}$ 可以表示任意一个三维向量，则 $a$ 的取值为（）

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继续阅读“能表示任意向量的向量一定等价于单位向量”

一、题目

已知 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,3,2,0{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_2=(2,-1,4,1{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_3=(5,1,6,2{)}^{\mathrm{\top }}$, $\mathit{\beta }=(7,a,14,3{)}^{\mathrm{\top }}$, 且 $\mathit{\beta }$ 不能由 ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, ${\mathit{\alpha }}_3$ 线性表示，则 $a$ 的取值为（）

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继续阅读“当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，线性方程组无解”

一、题目

已知 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,2,1{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_2=(2,3,a{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_3=(1,a+2,-2{)}^{\mathrm{\top }}$, $\mathit{\beta }=(1,3,0{)}^{\mathrm{\top }}$. 若 $\mathit{\beta }$ 可 由 ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 线性表示，且表示法不唯一，则 $a=?$

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继续阅读“只要说非齐次线性方程组的解“不唯一”——就是有“无穷多解””

一、题目

已知 ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, ${\mathit{\alpha }}_3$ 线性无关，若 ${\mathit{\alpha }}_1-3{\mathit{\alpha }}_3$, $a{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2+2{\mathit{\alpha }}_3$, $2{\mathit{\alpha }}_1+3{\mathit{\alpha }}_2+{\mathit{\alpha }}_3$ 亦线性无关，则 $a$ 的取值（）

难度评级：

继续阅读“线性无关的矩阵乘以线性无关的矩阵一定得线性无关的矩阵”

一、题目

已知向量组 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,2,-1,1{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_2=(2,0,t,0{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_3=(0,-4,5,t{)}^{\mathrm{\top }}$ 线性无关，则 $t$ 的取值为（）

难度评级：

继续阅读“当题目问“取值是多少”而不是“等于多少”时，正确的答案则很可能不是一个具体的数字——可能是多个具体数字，也可能是某个取值范围”

一、题目

已知向量组 ${\mathit{\alpha }}_1=(1,2,3{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_2=(3,-1,2{)}^{\mathrm{\top }}$, ${\mathit{\alpha }}_3=(2,3,t{)}^{\mathrm{\top }}$ 线性相关，则 $t=?$

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继续阅读“线性相关的向量组对应的行列式一定不满秩”

一、前言

如果存在可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1}AP=B$ 成立，则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作：

$$A\sim B$$

那么，相似矩阵之间都有哪些性质呢？下面的内容就汇总了考研数学中所需掌握的相似矩阵的性质。

继续阅读“相似矩阵的性质汇总”

一、题目

已知，四阶矩阵 $\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 满足 $2\mathit{A}\mathit{B}{\mathit{A}}^{-1}=\mathit{A}\mathit{B}+6\mathit{E}$, 若 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 0\\ 1& 3& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$, 则 $\mathit{B}=?$

难度评级：

继续阅读“二阶矩阵伴随矩阵的快速求解方法：主对角线对调，副对角线变号”

一、题目

已知 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}3& 0& 0\\ 2& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$, 且 $\mathit{B}\mathit{A}=\mathit{A}+2\mathit{B}$, 则 $\mathit{B}=?$

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继续阅读“常数乘在矩阵的左边或者右边效果一样”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是三阶矩阵, 且 $|\mathit{A}|=3$, 将 $\mathit{A}$ 第二列的 $-5$ 倍加到第一列得到矩阵 $\mathit{B}$, 则 $|A^{\ast }B|=?$

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继续阅读“伴随矩阵与“左行右列”规则结合的一道题目”