分类： 高等数学

题目 02

已知，函数 $f(x)=\left{\begin{array}{cc}\frac{e^{ax^{3}}-1}{x-\arcsin x}, & x>0 \ 6, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点连续, 则 $a=?$

解析 02

由《常用等价无穷小公式》可知：

$$
x – \sin x \sim \frac{1}{6} x^{3}
$$

$$
x – \arcsin x \sim \frac{-1}{6} x^{3}
$$

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{ax^{3}}-1}{x-\arcsin x} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{ax^{3}}-1}{\frac{-1}{6}}.
$$

于是，当 $a = -1$ 时：

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{ax^{3}}-1}{\frac{-1}{6}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{-x^{3}}-1}{\frac{-1}{6}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-x^{3}}{\frac{-1}{6}} = 6
$$

综上可知：

$$
a = -1
$$

---

一、题目

已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\ln (x-1)}{(x-1)(x-2)}, \quad x \in(1,2) \cup (2,+\infty) \\ 0,\end{array}\right.$, 则 $f(x)$ 在其定义域的哪一部分是有界的？

难度评级：

继续阅读“函数在其定义域端点处有界或无界其实就是在该点处有极限或者没极限的问题”

一、题目

已知 $\lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim \limits_{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在，$\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在，则以下命题中，正确的是哪个？

(A) $\lim \limits_{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x))$ 不存在.

(B) $\lim \limits_{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在.

(C) $\lim \limits_{x \rightarrow a}(h(x) \cdot g(x))$ 不存在.

(D) $\lim \limits_{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在.

难度评级：

继续阅读“极限存在的函数和极限不存在的函数放一块时极限是存在还是不存在呢：这几个特例很好用”

一、题目

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left\{\left[\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}+\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}\right \}=?
$$

难度评级：

继续阅读“这道三角函数极限题你能秒解吗”

一、题目

当 $n \rightarrow \infty$ 时,数列 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 是 $\frac{1}{n}$ 的等价无穷小吗？

难度评级：

继续阅读“披着数列极限外衣的函数无穷小问题：但是不能直接用等价无穷小公式哦”

一、前言

通过《等价无穷小公式合辑》这篇文章可知，当 $x \rightarrow 0$ 时，我们有很多等价无穷小公式可以选择。

但是，当 $x \rightarrow 1$ 时，我们也可以通过“变形”的方式使用等价无穷小公式。

继续阅读“只有当 x 趋于零的时候才能用等价无穷小代换吗？不，x 趋于 1 的时候也可以试试看”

一、题目

设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小, 则下列命题：

$(1)$ $f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小.

$(2)$ 若 $n>m$, 则 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小.

$(3)$ 若 $n \leqslant m$, 则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小.

$(4)$ 若 $f(x)$ 连续, 则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小.

$(5)$ 当 $n \geqslant 2$ 时，$f^{\prime}(x)$ 是 $x – a$ 的 $n-1$ 阶无穷小.

中, 正确的是哪几个？

难度评级：

继续阅读“乘、除、加、积分、求导对无穷小阶数的影响”

一、题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，下列无穷小量中最高阶的是哪个？

A. $(1+x)^{x^{2}}-1$

B. $e^{x^{4}-2 x}-1$

C. $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~ d} t$

D. $\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$

难度评级：

继续阅读“这有一道求解无穷小阶数的经典题目”

一、题目

已知 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则：

$$
f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)=?
$$

$$
f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)=?
$$

难度评级：

继续阅读“这个二元函数一点处的导数你会求解吗？”

一、题目

$$
I = \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“你能走出这个关于 $e^{x}$ 的迷宫吗？”

一、题目

下面四个命题哪个是错误的：

(1) 数列极限 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ $\Leftrightarrow$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$. 其中 $l$ 为某个确定的正整数.

(2) 数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛 (即存在极限 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ), 则 $x_{n}$ 有界.

(3) 数列极限 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在 $\Leftrightarrow$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$.

(4) 数列 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ $\Leftrightarrow$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}$ $=$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$.

难度评级：

继续阅读“你能看出来下面关于数列极限的四个命题哪个是错误的吗？”

一、前言

你知道对于数列 $x_{n}$ 而言，$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ 蕴含着多少知识吗？

继续往下看，会让你对数列极限的理解更上一层楼。

继续阅读“关于数列极限比值的那些事”

一、题目

$$
I=\int_{0}^{1} x^{4} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \mathrm{~d} x=?
$$

难度评级：

继续阅读“有根号有平方：三角代换用起来！”

一、题目

$$
I=\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=?
$$

难度评级：

继续阅读“配方法和代换法：你会用哪种方法做这道题？”

一、前言

在考研数学中，有些题目可以使用配方法对原式进行恒等变形，从而挖掘出解题的隐含条件——用好配方法，可以大大加快解题速度。

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将用简单有效的表述阐述清楚什么是配方法，以及如何使用配方法。

难度评级：

继续阅读“挖掘题目隐含条件的利器：配方法”