题目 02
已知，函数 $f(x)=\left{\begin{array}{cc}\frac{e^{ax^{3}}-1}{x-\arcsin x}, & x>0 \ 6, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点连续, 则 $a=?$
解析 02
由《常用等价无穷小公式》可知：
$$
x – \sin x \sim \frac{1}{6} x^{3}
$$
$$
x – \arcsin x \sim \frac{-1}{6} x^{3}
$$
于是：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{ax^{3}}-1}{x-\arcsin x} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{ax^{3}}-1}{\frac{-1}{6}}.
$$
于是，当 $a = -1$ 时：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{ax^{3}}-1}{\frac{-1}{6}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{-x^{3}}-1}{\frac{-1}{6}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-x^{3}}{\frac{-1}{6}} = 6
$$
综上可知：
$$
a = -1
$$
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