一、题目
已知，当 $0 \leqslant x \leqslant \pi$ 时 $f(x)=x$, 且对一切 $x$ 都有 $f(x)=f(x-\pi)+\sin x$, 则 $I = \int_{\pi}^{3 \pi} f(x) \mathrm{d} x=?$
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继续阅读“当函数 f 的括号中标明的自变量不是单独的一个字母时一般都可以用变量代换，且这样的函数通常都具有某种周期性”分类： 高等数学
这道题看似不能用三角函数代换，但其实题目中已经给我们提示了：把未知变已知，把不同变相同
一、题目
$$
I = \int_{3}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(x-1)^{4} \sqrt{x^{2}-2 x}} = ?
$$
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继续阅读“这道题看似不能用三角函数代换，但其实题目中已经给我们提示了：把未知变已知，把不同变相同”当分母的次幂大于分子的次幂时一定要通过拆分的方式给分母降幂：只有这样才能继续积分
一、题目
$$
I=\int_{0}^{1} x \ln (1+x) \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“当分母的次幂大于分子的次幂时一定要通过拆分的方式给分母降幂：只有这样才能继续积分”带有三角函数的积分一般可以尝试配方法，但一般不要将三角函数放到微分符号 d 中
一、题目
$$
I=\int_{-1}^{1} x \arcsin x \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“带有三角函数的积分一般可以尝试配方法，但一般不要将三角函数放到微分符号 d 中”这道不定积分题有三个不同的答案：但每个答案都是对的
一、题目
$$
I=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} = ?
$$
其中 $a<x<b$.
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继续阅读“这道不定积分题有三个不同的答案：但每个答案都是对的”解决数学问题的常用思路：把未知转化为已知
一、题目
已知 $f(x), \varphi(x)$ 均为连续函数, $a \neq 0$ 且为常数, $\int_{0}^{a} f[\varphi(a-x)] \mathrm{~ d} x$ $=$ $A$, 则 $I$ $=$ $\int_{0}^{a} x[f[\varphi(x)]+f[\varphi(a-x)]] \mathrm{~ d} x=?$
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继续阅读“解决数学问题的常用思路：把未知转化为已知”定积分换元的时候一定不要忘记修改积分上下限
一、题目
已知 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，且 $\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=A$, 则 $\int_{0}^{2 T} f(3 x+T) \mathrm{d} x=?$
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继续阅读“定积分换元的时候一定不要忘记修改积分上下限”错题示例：求解一个矩阵的特征值时不能先对这个矩阵进行化简后再套入公式：但套入公式之后可以化简
一、题目
二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ $=$ $a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 经正交变换化为标准形 $3 y_{1}^{2}-y_{3}^{2}$, 则 $a=?$
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继续阅读“错题示例：求解一个矩阵的特征值时不能先对这个矩阵进行化简后再套入公式：但套入公式之后可以化简”这道题目中含有一个奇函数，你能找到吗？
一、题目
已知 $a>0$, 则 $I=\int_{-a}^{a}$ $\sqrt{a^{2}-x^{2}} \ln \frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{3} \mathrm{~d} x$ $=?$
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继续阅读“这道题目中含有一个奇函数，你能找到吗？”带有三角函数的积分不容易计算怎么办？尝试把三角函数放到微分符号 d 里面，这样就可以用整体代换法去掉三角函数了
一、题目
$$
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x) \cos x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“带有三角函数的积分不容易计算怎么办？尝试把三角函数放到微分符号 d 里面，这样就可以用整体代换法去掉三角函数了”使用待定系数法解出来的不定积分一般都会产生对数，但你知道什么时候对数会消失吗？
一、题目
在不定积分 $I=\int \frac{x^{2}+a x+b}{(x+1)^{2}\left(x^{2}+1\right)} \mathrm{d} x$ 中不含对数函数，则 $b=?$
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继续阅读“使用待定系数法解出来的不定积分一般都会产生对数，但你知道什么时候对数会消失吗？”变量 x 的取值任意？那还怎么用等价无穷小？
一、题目
对于任意 $x$, 存在 $\theta \in(0,1)$, 使得 $\mathrm{e}^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{\theta x}$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \theta=?$
难度评级：
继续阅读“变量 x 的取值任意？那还怎么用等价无穷小？”你能找出来这个隐藏在定积分下的函数吗？
一、题目
已知 $f(x)=\int_{0}^{1} \ln \sqrt{x^{2}+t^{2}} \mathrm{~d} t$, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 点处连续吗？可导吗？
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继续阅读“你能找出来这个隐藏在定积分下的函数吗？”二元函数的可微性你会证明吗：偏导数都存在也不一定可微哦
题目 02
已知 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？
解析 02
首先验证偏导数是否存在：
$$
f_{x}^{\prime}(0,0)=\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ y=0}} \frac{f(\Delta x, 0)-0}{\Delta x}=\frac{0-0}{(\Delta x)^{2}}=0
$$
$$
f_{y}^{\prime}(0,0)=\lim \limits_{\substack{\Delta y \rightarrow 0 \\ x=0}} \frac{f(0, \Delta y)-0}{\Delta y}=\frac{0-0}{(\Delta y)^{2}} = 0
$$
Tips:
为了简便起见，在求解出 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 可由变量 $x$ 与 $y$ 的对称性直接得出 $f_{y}^{\prime}(0,0) = f_{x}^{\prime}(0,0)$ 的结论。
接着验证是否可微：
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{f(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=
$$
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta x \cdot \Delta y}{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} \Rightarrow
$$
若令 $\Delta y=\Delta x$, 则：
$$
\frac{(\Delta x)^{2}}{2(\Delta x)^{2}}=\frac{1}{2} \neq 0
$$
上面的计算步骤只是一个特例，事实上：
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta x \cdot \Delta y}{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} \Rightarrow
$$
$$
\Delta y = k \Delta x \Rightarrow
$$
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{\Delta x \cdot k \Delta x}{(\Delta x)^{2}+(k \Delta x)^{2}} \Rightarrow
$$
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{k (\Delta x)^{2}}{(1+k^{2}) (\Delta x)^{2}} = \frac{k}{1 + k^{2}} \ neq 0
$$
综上可知，$f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微。
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住？其实你已经记住了！
一、前言 
如果二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的偏导数 $f^{\prime}_{x}(x_{0}, y_{0})$ 以及 $f^{\prime}_{y}(x_{0}, y_{0})$ 都存在，且下面这个式子的极限值为零，则表明该该二元函数在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处可微：
$$
\textcolor{orange}{
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{[f(x_{0} + \Delta x, y_{0} + \Delta y) – f(x_{0}, y_{0})] – [f^{\prime}_{x}(x_{0}, y_{0}) \Delta x + f^{\prime}_{y}(x_{0}, y_{0}) \Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}}
}
$$
但是，上面这个式子你能记住吗？
其实，你已经记住上面这个式子了，不信就继续看下文吧。
继续阅读“判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住？其实你已经记住了！”