已知 $g(x)$ $=$ $\begin{cases}
2-x, & x \leqslant 0 \\
2+x, & x>0
\end{cases}$, $f(x)$ $=$ $\begin{cases}
x^2, & x<0 \\
-x, & x \geqslant 0
\end{cases}$, 则：
$$
\lim _{x \rightarrow 0} g[f(x)]=?
$$
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继续阅读“函数二变一：这样的函数复合运算的题目你一定要会哦”
下面这两个式子有什么区别：
$$
[f^{\textcolor{orangered}{\prime}}(-x)]
$$
$$
[f(-x)]^{\textcolor{orangered}{\prime}}
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将带你一探究竟！
继续阅读“求导符号的位置变了，含义很可能也就变了”设 $f ( x )$ $=$ $\left( x ^ { 2025 } – 1 \right) g ( x )$, 其中 $g ( x )$ 在 $x$ $=$ $1$ 处连续，且 $g ( 1 )$ $=$ $1$, 则 $f^{ \prime } ( 1 )$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“当不知道抽象函数在某点处的可导性时，只能用一点处导数的定义求解该函数在指定点处的导数值”设 $y$ $=$ $y ( x )$ 由 $\begin{cases} x = \int _ { 0 } ^ { t } 2 \mathrm { e } ^ { – u ^ { 2 } } \mathrm { ~ d } u \\ \\ y = \int _ { 0 } ^ { t } \sin ( t – u ) \mathrm { d } u \end{cases}$ 确定，则 $y$ $=$ $y ( x )$ 在 $t$ $=$ $0$ 对应点处的曲率是多少？
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继续阅读“你能看出来这个变限积分无法直接求导吗？”已知，区域 $D$ $=$ $\left\{ ( x , y ) \mid ( x – 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 \right\}$, 则 $D$ 绕 $Y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积是多少？
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继续阅读“这个旋转体是个“甜甜圈”！你会求这个甜甜圈的体积吗？”己知 $f ( x )$ 具有一阶连读导数, 且 $\left[ f ( x ) – e ^ { x } \right] \sin y \mathrm{~d} x$ $-$ $f ( x ) \cos y \mathrm{~d} y$ 是二元函数 $u(x, y)$ 的全微分，则这个二元函数 $u(x, y)$ 是否具有二阶连续偏导数？
首先，由题目可知：
$$
\begin{aligned}
\frac { \partial u } { \partial x } & = \left[ f ( x ) – e ^ { x } \right] \sin y \\ \\
\frac { \partial u } { \partial y } & = – f ( x ) \cos y
\end{aligned}
$$
于是：
$$
\begin{aligned}
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y } & = \left[ \textcolor{orangered}{ f ( x ) } – e ^ { x } \right] \cos y \\ \\
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial ^ { x } } & = – \textcolor{orangered}{ f ^ { \prime } ( x ) } \cos y
\end{aligned}
$$
由于 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y }$ 和 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }$ 分别由 $f(x)$ 和其一阶导 $f ^{\prime} (x)$ 以及连续的初等函数，通过四则运算组成，因此，二阶偏导数 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y }$ 和 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }$ 的连续性，就取决于 $f(x)$ 和 $f ^{\prime} (x)$ 的连续性。
又由于 $f ^{\prime} (x)$ 连续，因此，$f ^{\prime} (x)$ 存在，也就是说 $f(x)$ 可导，根据“可导必连续”的定理可知，$f(x)$ 也连续。
综上，二元函数 $u(x, y)$ 的二阶偏导数 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y }$ 和 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }$ 分别都是连续的，因此，下式也成立：
$$
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y } = \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }
$$
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！
已知，向量组 $\boldsymbol { \alpha } _ { 1 } = ( 1 , 1 , a ) ^ { \mathrm { T } }$ , $\boldsymbol { \alpha } _ { 2 } = ( 1 , – 2 , b ) ^ { \mathrm { T } }$ , $\boldsymbol { \alpha } _ { 3 } = ( – 2 , 1 , c ) ^ { \mathrm { T } }$ 的秩为 $a$, 若 $\boldsymbol { \beta } = ( 1 , 2 , 0 ) ^ { \top }$ 可由 $\boldsymbol { \alpha } _ { 1 }$, $\boldsymbol { \alpha } _ { 2 }$, $\boldsymbol { \alpha } _ { 3 }$ 线性表示，且表示法不唯一, 则 $\begin{cases}
a = ? \\ b = ?
\end{cases}$
A. $a = 2$, $b = 8$, $c = 1 0$
B. $a = 2$, $b = 8$, $c = -1 0$
C. $a = 1$, $b = – 8$, $c = 1 0$
D. $a = 1$, $b = – 8$, $c = – 1 0$
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继续阅读“在实际的考试中，我们没必要把矩阵化简得这么“彻底”再去求未知数”若方程 $\tan x = a x$ 在 $\left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)$ 内有实根，则常数 $a$ 的取值范围是多少？
(A). $0 < a < \frac { 4 } { \pi }$
(B). $1 < a < \frac { \pi } { 4 }$
(C). $1 < a < \frac { 4 } { \pi }$
(D). $0 < a < \frac { \pi } { 4 }$
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继续阅读“对题目的等价转化往往就是解题的突破口”已知，函数 $f(x)$ $=$ $\ln \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)$ $-$ $x^{\frac{2}{3}}$, 则下面说法正确的是哪一个？
(A). $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
(B). $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 存在
(C). $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
(D). $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
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继续阅读“一点处连续与存在的区别：连续性要考虑“邻居”，存在性只需要考虑“自己””请问，$x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ $=$ $3 x$ $-$ $4 \sin x$ $+$ $\sin x \cos x$ 是关于 $x$ 的多少阶无穷小？
难度评级：
继续阅读“解题的突破口一般就是尝试增加式子的一致性，降低式子的复杂度”已知 $F(x)$ $=$ $\begin{cases}\frac{f(x)}{x}, & x \neq 0, \ f(0), & x=0,\end{cases}$ 其中 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 处可导. 且 $f^{\prime}(0)$ $\neq$ $0$, $f(0)$ $=$ $0$, 则 ( )
(A). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的连续点
(B). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的第一类间断点
(C). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的第二类间断点
(D). 以上说法都不对
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继续阅读“遇到这样的式子，且题目中提到了导数的话，一定要考虑能否用一点处导数的定义公式”已知 $y$ $=$ $y(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $2 y^{\prime}$ $+$ $y$ $=$ $\mathrm{e}^{3 x}$ 的解, 且满足 $y(0)$ $=$ $y^{\prime}(0)$ $=$ $0$.
则当 $x \rightarrow 0$时, 与 $y(x)$ 为等价无穷小的是 ( )
(A). $\sin x^{2}$
(B). $\sin x$
(C). $\ln \sqrt{1+x^{2}}$
(D). $\ln \left(1+x^{2}\right)$
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继续阅读“微分方程和洛必达运算的结合”设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, 且 $f^{\prime}(0)$ $=$ $f^{\prime}(1)$, $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$, 证明:
(1) 当 $x \in(0,1)$ 时, $|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x|$ $\leq$ $\frac{x(1-x)}{2}$;
(2) $\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right|$ $\leq$ $\frac{1}{12}$.
第 (2) 问直接利用第 (1) 问要证明的结果即可。因此，即使我们没有做出来或者没有完全做出来第 (1) 问，也可以做第 (2) 问——
这也是一些考研数学简答题的特点：一些题目的第 (2) 问其实可以直接假设第 (1) 问的结论成立，然后进行答题即可。
第 (2) 问涉及对函数 $f(x)$ 从 $0$ 到 $1$ 的定积分，那么，我们先利用第 (1) 问的已知条件，对其整体计算从 $0$ 到 $1$ 的定积分。
对第（1）问证得的结论 $f(x)$ $-$ $f(0)(1-x)$ $-$ $f(1) x$ $\leq$ $\frac{x(1-x)}{2}$ 两边同时取从 $0$ 到 $1$ 的定积分，可得：
$$
\textcolor{orangered}{\int_{0}^{1}} [f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x] \textcolor{orangered}{\mathrm{~d} x} \leq \textcolor{orangered}{\int_{0}^{1}} \frac{x(1-x)}{2} \textcolor{orangered}{\mathrm{~d} x} \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{1} \left[ f(x) – f(0) + xf(0) – xf(1) \right] \mathrm{~d} x \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x – x^{2}) \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x + \frac{f(0) – f(1)}{2} – f(0) \leq \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} x^{2} \Big|_{0}^{1} – \frac{1}{3} x^{3} \Big|_{0}^{1} \right) \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x + \frac{f(0) – f(1)}{2} – f(0) \leq \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) \Rightarrow
$$
$$
\textcolor{springgreen}{
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2} \leq \frac{1}{12}
}
$$
类似的，由第（1）问中的结论 $f(x)$ $-$ $f(0)(1-x)$ $-$ $f(1) x$ $\geq$ $-\frac{x(1-x)}{2}$, 可得：
$$
\int_{0}^{1}[f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x] \mathrm{~d} x \geq \int_{0}^{1}-\frac{x(1-x)}{2} \mathrm{~d} x
$$
$$
\textcolor{springgreen}{
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2} \geq-\frac{1}{12}
}
$$
综上可得：
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}
}
}
$$ 
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！
已知，当 $x \rightarrow 0$ 时：
$$
\begin{aligned}
\alpha(x) & = \tan x-\sin x \\ \\
\beta(x) & = \sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}} \\ \\
\gamma(x) & = \int_{0}^{1-\cos x} \sin t \mathrm{~d} t
\end{aligned}
$$
都是无穷小，将它们关于 $x$ 的阶数从低到高排列，正确的顺序为（ ）
(A). $\alpha(x)$, $\beta(x)$, $\gamma(x)$
(B). $\alpha(x)$, $\gamma(x)$, $\beta(x)$
(C). $\beta(x)$, $\alpha(x)$, $\gamma(x)$
(D). $\gamma(x)$, $\alpha(x)$, $\beta(x)$
难度评级：
继续阅读“阶数越高的无穷小越小，阶数越大的无穷大越大”已知 $f(x)$ $=$ $\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ $=$ $?$
(A). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C, & x<-1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C, & x>1
\end{cases}$
(B). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$
(C). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C_{1}, & x<-1 \\\ x+C\_{2}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C\_{3}, & x>1
\end{cases}$
(D). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{4}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$
难度评级：
继续阅读“分段函数求不定积分的两种常用方法：不定积分法和变上限积分法”
