一、题目
设 $y$ $=$ $y ( x )$ 由 $\begin{cases} x = \int _ { 0 } ^ { t } 2 \mathrm { e } ^ { – u ^ { 2 } } \mathrm { ~ d } u \\ \\ y = \int _ { 0 } ^ { t } \sin ( t – u ) \mathrm { d } u \end{cases}$ 确定，则 $y$ $=$ $y ( x )$ 在 $t$ $=$ $0$ 对应点处的曲率是多少？
难度评级：
二、解析 
根据荒原之梦考研数学的《什么是曲率？什么是曲率圆？》这篇文章可知，曲率的计算公式为：
$K$ $=$ $\frac{|y^{\prime \prime}|}{(1+y’^{2})^{\frac{3}{2}}}$
因此，这就涉及到求导运算。
分析可知，题目给出的参数方程组中的 $x$ $=$ $\int _ { 0 } ^ { t } 2 \mathrm { e } ^ { – u ^ { 2 } } \mathrm { ~ d } u$ 可以直接进行函数 $x(t)$ 对自变量 $t$ 的求导运算，但在式子 $y$ $=$ $\int _ { 0 } ^ { t } \sin ( t – u ) \mathrm { d } u$ 中，则很难直接进行函数 $y(t)$ 对 $t$ 的求导运算，所以，需要先通过代换的方式进行变形处理：
$\begin{aligned}
y = \int _ { 0 } ^ { t } \sin ( t – u ) \mathrm { d } u \\
& \xlongequal[u = t – s]{s = t – u} \int _ { 0 } ^ { t } \sin s \mathrm { ~ d } s
\end{aligned}$
于是：
$$
\begin{aligned}
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { ~ d } x } \\ \\
& = \frac { y ^ { \prime } ( t ) } { x ^ { \prime } ( t ) } \\ \\
& = \frac { \sin t } { 2 \mathrm { e } ^ { – t ^ { 2 } } } \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\frac { 1 } { 2 } \mathrm { e } ^ { t ^ { 2 } } \sin t}
\end{aligned}
$$
又：
$$
\begin{aligned}
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { ~ d } x ^ { 2 } } \\ \\
& = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right) \\ \\
& = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { ~ d } t } \left( \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { ~ d } x } \right) \cdot \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { ~ d } x } \\ \\
& = \left( \frac { 1 } { 2 } \mathrm { e } ^ { t ^ { 2 } } \sin t \right)^{\prime}_{t} \times \frac{1}{2e^{-t^{2}}} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\frac { 1 } { 4 } \mathrm { e } ^ { 2 t ^ { 2 } } ( 2 t \sin t + \cos t )}
\end{aligned}
$$
当 $t = 0$ 时，有：
$$
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } y } { \mathrm { ~ d } x ^ { 2 } } \Big| _ { t = 0 } = \frac { 1 } { 4 }
$$
$$
\frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { ~ d } x } \Big| _ { t = 0 } = 0
$$
因此，当 $t = 0$ 时，曲率为：
$$
K = \frac { \left| y ^ { \prime \prime } \right| } { \left( 1 + y ^ { \prime 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } = \frac { \frac { 1 } { 4 } } { \left( 1 + 0 ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\frac { 1 } { 4 }}}
$$
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