一、题目
设 $f ( x )$ $=$ $\left( x ^ { 2025 } – 1 \right) g ( x )$, 其中 $g ( x )$ 在 $x$ $=$ $1$ 处连续，且 $g ( 1 )$ $=$ $1$, 则 $f^{ \prime } ( 1 )$ $=$ $?$
难度评级：
二、解析 
由 $g ( x )$ 在 $x$ $=$ $1$ 处连续，并不能推出 $g(x)$ 在 $x$ $=$ $1$ 处可导，因此，也就推不出 $f ( x )$ 在 $x$ $=$ $1$ 处可导，因而不能对 $f(x)$ 使用求导公式计算之后，再代入 $x$ $=$ $1$ 计算 $f^{ \prime }(1)$ 的值。
综上，对 $f^{ \prime }(1)$ 的计算，只能使用一点处导数的定义：
$$
\begin{aligned}
f ^ { \prime } ( 1 ) \\ \\
& = \lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { f ( x ) – f ( 1 ) } { x – 1 } \\ \\
& = \lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { \left( x ^ { 2025 } – 1 \right) g ( x ) – ( 1 – 1 ) g ( 1 ) } { x – 1 } \\ \\
& = \lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { \textcolor{orangered}{\left( x ^ { 2025 } – 1 \right)} g ( x ) – 0 } { x – 1 } \\ \\
& = \lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { [ \textcolor{orangered}{( x – 1 ) ( x ^ { 2024 } + x ^ { 2023 } + \cdots + x + 1 )} ] g ( x ) } { x – 1 } \\ \\
& = \lim _ { x \rightarrow 1 } ( x ^ { 2024 } + x ^ { 2023 } + \cdots + x + 1 ) g ( x ) \\ \\
& = ( 1 + 1 + \cdots + 1 ) g ( 1 ) \\ \\
& = 2025 \cdot 1 = 2025
\end{aligned}
$$
在上面的计算过程中（橘红色文字部分）用了一个计算技巧，我们可以简单的用下面的式子记住这个技巧：$\begin{cases}
& (x^{2} – 1) = (x – 1) (x + 1) \\
& (x^{3} – 1) = (x – 1) (x^{2} + x + 1) \\
& (x^{4} – 1) = (x – 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) \\
& \quad \vdots
\end{cases}$
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