2021年考研数二第14题解析（版本 1）：二重积分的计算、交换积分次序

一、题目

难度评级：

二、解析

因为要求的是 $f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$，而 $\dfrac{\pi}{2} > 1$，所以可在 $t > 1$ 的情形下进行接下来的讨论.

首先可知，原式为：

$$
f\left(t\right) = \int_{1}^{t} \mathrm{d}x \int_{\sqrt{x}}^{1} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}y
$$

注意当 $x > 1$ 时，有 $\sqrt{x} > 1$，因此内层积分的下限大于上限.先将其改写为正常方向的积分：

$$
\int_{\sqrt{x}}^{1} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}y = -\int_{1}^{\sqrt{x}} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}y
$$

于是，原式可以写成：

$$
f\left(t\right) = -\int_{1}^{t} \mathrm{d}x \int_{1}^{\sqrt{x}} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}y.
$$

此时，对应的积分区域为：

$$
1 \leq x \leq t, \qquad 1 \leq y \leq \sqrt{x}
$$

对应的积分区域如图 01 中绿色阴影区域所示：

由图可知，交换积分次序（先对 $y$ 积分，后对 $x$ 积分）后，$y$ 的范围是：

$$
1 \leq y \leq \sqrt{t}
$$

$x$ 的范围是：

$$
y^{2} \leq x \leq t
$$

所以交换积分次序后，原式变为：

$$
f\left(t\right) = -\int_{1}^{\sqrt{t}} \mathrm{d}y \int_{y^{2}}^{t} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}x
$$

接着，先计算内层的积分 $\int_{y^{2}}^{t} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}x$:

由于对 $x$ 积分时，$y$ 是常数，于是，令：

$$
u = \frac{x}{y}, \qquad \mathrm{d}x = y \mathrm{~d}u
$$

因此：

$$
\begin{aligned}
\int \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}x & = y \int \sin u \mathrm{~d} u \\ \\
& = y \left( – \cos u \right) \\ \\
& -y \cos \frac{x}{y}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\int_{y^{2}}^{t} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}x & = \left[-y \cos \frac{x}{y}\right]_{y^{2}}^{t} \\ \\
&= – y \cos \frac{t}{y} + y \cos y
\end{aligned}
$$

代回原式，得：

$$
\begin{aligned}
f\left(t\right) & = – \int_{1}^{\sqrt{t}} \left( -y \cos \frac{t}{y} + y \cos y \right) \mathrm{~d}y \\ \\
& = \int_{1}^{\sqrt{t}} y \left( \cos \frac{t}{y} – \cos y \right) \mathrm{~d}y \\ \\
& = \int_{1}^{\sqrt{t}} y \cos \frac{t}{y} \mathrm{~d}y – \int_{1}^{\sqrt{t}} y \cos y \mathrm{~d}y
\end{aligned}
$$

其中第一项含有 $\cos \dfrac{t}{y}$，若直接对 $y$ 积分较困难，因此作换元：

$$
u = \frac{t}{y}, \qquad y = \frac{t}{u}, \qquad \mathrm{d}y = -\frac{t}{u^{2}} \mathrm{~d}u
$$

于是可知，当 $y = 1$ 时，$u = t$；当 $y = \sqrt{t}$ 时，$u = \sqrt{t}$.

所以：

$$
\begin{aligned}
\int_{1}^{\sqrt{t}} y \cos \frac{t}{y} \mathrm{~d}y & = \int_{t}^{\sqrt{t}} \frac{t}{u} \cos u
\left( -\frac{t}{u^{2}}
\right) \mathrm{~d}u \\ \\
& = t^{2} \int_{\sqrt{t}}^{t} \frac{\cos u}{u^{3}} \mathrm{~d}u
\end{aligned}
$$

因此：

$$
f\left(t\right) = t^{2}
\int_{\sqrt{t}}^{t} \frac{\cos u}{u^{3}} \mathrm{~d}u – \int_{1}^{\sqrt{t}} y \cos y \mathrm{~d}y \tag{1}
$$

到上面这个 $(1)$ 式，我们就像二重积分转化为了一重积分，由于接下来需要进行求导运算，因此，这里不用对一重积分做进一步的计算.

下面对 $t$ 求导. 设：

$$
I\left(t\right) = \int_{\sqrt{t}}^{t} \frac{\cos u}{u^{3}} \mathrm{~d}u
$$

由变限积分求导公式：

$$
I^{\prime}\left(t\right) = \frac{\cos t}{t^{3}} – \frac{\cos \sqrt{t}}{\left(\sqrt{t}\right)^{3}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{t}}
$$

因为：

$$
\left(\sqrt{t}\right)^{3} = t^{\frac{3}{2}}
$$

所以：

$$
\frac{\cos \sqrt{t}}{\left(\sqrt{t}\right)^{3}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{t}} = \frac{\cos \sqrt{t}}{2 t^{2}}.
$$

于是：

$$
I^{\prime}\left(t\right) = \frac{\cos t}{t^{3}} – \frac{\cos \sqrt{t}}{2 t^{2}}
$$

由乘积求导法则：

$$
\begin{aligned}
\left[ t^{2} \int_{\sqrt{t}}^{t} \frac{\cos u}{u^{3}} \mathrm{~d}u \right]^{\prime} & = 2 t \int_{\sqrt{t}}^{t} \frac{\cos u}{u^{3}} \mathrm{~d}u + t^{2} \left( \frac{\cos t}{t^{3}} – \frac{\cos \sqrt{t}}{2 t^{2}} \right) \\ \\
& = 2 t \int_{\sqrt{t}}^{t} \frac{\cos u}{u^{3}} \mathrm{~d}u + \frac{\cos t}{t} – \frac{1}{2} \cos \sqrt{t}
\end{aligned}
$$

再对 $(1)$ 式中第二项求导，得：

$$
\left( \int_{1}^{\sqrt{t}} y \cos y \mathrm{~d}y \right)^{\prime} = \sqrt{t} \cos \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{t}} = \frac{1}{2} \cos \sqrt{t}
$$

因此：

$$
\begin{aligned}
f^{\prime}\left(t\right) & = 2 t \int_{\sqrt{t}}^{t} \frac{\cos u}{u^{3}} \mathrm{~d}u + \frac{\cos t}{t} – \frac{1}{2} \cos \sqrt{t} – \frac{1}{2} \cos \sqrt{t} \\ \\
& = 2 t \int_{\sqrt{t}}^{t} \frac{\cos u}{u^{3}} \mathrm{~d}u + \frac{\cos t}{t} – \cos \sqrt{t}
\end{aligned}
$$

令 $t = \dfrac{\pi}{2}$，因为：

$$
\cos \frac{\pi}{2} = 0,
$$

所以

$$
\textcolor{lightgreen}{
f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \pi \int_{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\frac{\pi}{2}}
\frac{\cos u}{u^{3}} \mathrm{~d}u – \cos \sqrt{\frac{\pi}{2}}
}
$$

三、补充

在计算二重积分时，如果按照题目给出的积分次序直接积分很困难，就要考虑交换积分次序. 尤其是在直角坐标系下，如果累次积分的被积函数中出现诸如下面这些“不易直接积分”的式子，换序往往可以把困难的变量变成参数，从而降低计算难度.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 不易直接积分的形式 1：

$$
x^{2 n} \mathrm{e}^{\pm x^{2}} \mathrm{~d}x
$$

上面的式子不容易直接积分，原因是 $\mathrm{e}^{x^{2}}$ 或 $\mathrm{e}^{-x^{2}}$ 的原函数一般不能用初等函数表示，因此，如果这样的式子出现在内层积分中，直接算往往很麻烦.

对于这样的式子，可以尝试交换积分次序，让其不再作为直接积分的对象.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 不易直接积分的形式 2：

$$
\mathrm{e}^{\frac{k}{x}} \mathrm{~d}x, \qquad \sin \frac{k}{x} \mathrm{~d}x, \qquad \cos \frac{k}{x} \mathrm{~d}x
$$

上面这类积分的难点在于指数中含有 $\dfrac{1}{x}$, 直接对 $x$ 积分时，即使令 $u = \dfrac{k}{x}$, 也会因为 $\mathrm{d} x$ 的存在，而产生额外的因子 $\dfrac{1}{u^{2}}$, 通常不会得到简单的初等函数.

对于这样的式子，可以尝试交换积分次序，让其不再作为直接积分的对象.

对于本题而言，如果按照正常的积分顺序，对 $\sin \frac{x}{y}$ 进行积分的时候，$x$ 是常数，$y$ 是变量，刚好属于这类不易积分的类型，但是，交换积分次序之后，在新得到的式子 $f\left(t\right) = -\int_{1}^{\sqrt{t}} \mathrm{d}y \int_{y^{2}}^{t} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}x$ 中，对 $\sin \frac{x}{y}$ 进行积分的时候，$x$ 是变量，$y$ 是常数，就变得很好积分了，这正是交换积分次序的作用.

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