2021年考研数二第21题解析：直角坐标系转极坐标系、二重积分的计算

一、题目

难度评级：

二、解析

本题中曲线 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2}$ 的图像如图 01 所示（绿色曲线）：

如果限定 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$, 则就是对应的曲线 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2}$ 在第一象限的部分（黄色曲线）：

对应的积分区域 $D$ 就是如图 03 所示的位于平面直角坐标系第一象限的阴影部分：

但是，从上面的三幅示意图可以看到，在不借助其他工具的情况下，想在考场上徒手画出积分区域 $D$ 的示意图存在较大的困难，并且，直接在平面直角坐标系下进行积分运算的话，还需要将曲线方程 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2}$ 转为 $y = f(x)$ 的形式，但这不可避免地要引入根号（事实上会引入双层根号，因为该曲线方程在平面直角坐标系第一象限的表达式为 $y = \sqrt{\frac{\sqrt{1+8x^{2}} – 1 – 2x^{2}}{2}}$），会使得积分运算的难度非常大.

于是，若要降低积分运算的难度，我们就需要尝试在极坐标系下解决这个问题——

已知：

$$
\begin{aligned}
x & = r \cos \theta \\
y & = r \sin \theta
\end{aligned}
$$

接着，由 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{4}
}
$$

又由 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2}$ 可知：

$$
\begin{aligned}
& \ r^{4} = r^{2} \left( \cos^{2} \theta – \sin^{2} \theta \right) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ r^{2} = \cos^{2} \theta – \sin^{2} \theta \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ r^{2} = \cos 2 \theta \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ r = \sqrt{\cos 2 \theta}
\end{aligned}
$$

于是可知，$r$ 的取值范围为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
0 \leqslant r \leqslant \sqrt{\cos 2 \theta}
}
$$

综上，有：

$$
\begin{aligned}
\iint_{D}xy\mathrm{~d}x \mathrm{~d}y & = \int_{ \textcolor{lightgreen}{0}}^{\textcolor{lightgreen}{\frac{\pi}{4}}}\mathrm{d}\theta\int_{\textcolor{lightgreen}{0}}^{\textcolor{lightgreen}{\sqrt{\cos 2\theta}}}r^{3}\sin \theta \cos \theta\mathrm{~d}r \\ \\
& = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin \theta \cos \theta \mathrm{~d} \theta \textcolor{pink}{ \int_{0}^{\sqrt{\cos 2\theta}}r^{3} \mathrm{~d}r } \\ \\
& = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \textcolor{pink}{ \frac{1}{4} \cos^{2} 2 \theta } \cdot \textcolor{lightblue}{ \sin \theta \cos \theta } \mathrm{~d} \theta \\ \\
& = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \textcolor{pink}{ \frac{1}{4} \cos^{2} 2 \theta } \cdot \textcolor{lightblue}{ \frac{1}{2} \sin 2 \theta } \mathrm{~d} \theta \\ \\
& = -\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{16} \cos^{2} 2 \theta \mathrm{~d} \cos 2 \theta \\ \\
& = \frac{-1}{16} \cdot \frac{1}{3} \cos^{3}2\theta\left|_{0}^{\frac{\pi}{4}}\right. \\ \\
& = \frac{-1}{48}\cos^{3}2\theta\left|_{0}^{\frac{\pi}{4}}\right. \\ \\
& = \frac{-1}{48}\cos^{3} \theta \left|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\right. \\ \\
& = \frac{-1}{48} \left( 0-1 \right) \\ \\
& = \frac{1}{48}
\end{aligned}
$$

---