积分换元的时候不能只考虑被积函数

一、题目

难度评级：

二、解析

令 $u = 1 – \sqrt{x}$, 则：

$$
\sqrt{x} = 1 + u
$$

但是，被积函数不是变成 $\frac{1}{\left( 1+u \right) u}$ 这种仍然很复杂的形式，因为 $\mathrm{d}u$ 分母上的 $\sqrt{x}$ 刚好可以作为原来的被积函数分母上的 $\sqrt{x}$:

$$
\mathrm{d}u = -\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \mathrm{~d}x
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\int \frac{1}{\sqrt{x}\left(1 – \sqrt{x}\right)} \mathrm{~d}x & = -2 \int \frac{1}{u} \mathrm{~d}u \\ \\
& = -2 \ln \left|u\right| + C \\ \\
& = -2 \ln \left|1 – \sqrt{x}\right| + C
\end{aligned}
$$

其中，$C$ 为任意常数.

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