2021年考研数二第20题解析：一阶线性微分方程的求解、切线、极值

一、题目

难度评级：

二、解析

第（1）问

首先，将 $x y^{\prime}-6y=-6$ 转化为一阶线性微分方程的表达形式：

$$
y^{\prime}-\frac{6}{x}y=-\frac{6}{x}
$$

于是，由一阶线性微分方程的求解公式，可知：

$$
\begin{aligned}
y & = \left[\int \left(-\frac{6}{x}\right)\mathrm{e}^{-\int \frac{6}{x}\mathrm{~d}x}\mathrm{~d}x+C\right] \mathrm{e}^{\int \frac{6}{x}\mathrm{~d}x} \\ \\
& = \left[\int \left(-\frac{6}{x}\right)\mathrm{e}^{-6\ln x}\mathrm{~d}x+C\right]\mathrm{e}^{6\ln x} \\ \\
& = \left[\int \left(-\frac{6}{x}\right)\mathrm{e}^{\ln x^{-6}}\mathrm{~d}x+C\right]\mathrm{e}^{\ln x^{6}} \\ \\
& = \left[\int \left(-\frac{6}{x}\right)\frac{1}{x^{6}}\mathrm{~d}x+C\right]x^{6} \\ \\
& = \left[\int \left(-\frac{6}{x^7}\right)\mathrm{~d}x+C\right]x^{6} \\ \\
& = \left[\frac{1}{x^{6}}+C\right]x^{6} \\ \\
& = x^{6}\left(\frac{1}{x^{6}}+C\right) \\ \\
& = 1+Cx^{6}
\end{aligned}
$$

接着， 将 $y\left(\sqrt{3}\right) = 10$ 代入上面得到的式子 $y(x) = 1+Cx^{6}$, 得：

$$
C = \frac{1}{3}
$$

所以：

$$
\textcolor{lightgreen}{
y \left(x\right) = 1 + \frac{x^{6}}{3}
}
$$

第（2）问

求解本题的关键点之一就是找出法线在 $Y$ 轴上的截距 $I_{y}$ 的函数表达式，于是，我们就要首先找出点 $P$ 处法线的函数表达式——

设 $P \left(x,y\right)$, 则过 $P$ 点的切线方程为：

$$
Y-y = \textcolor{pink}{ 2x^{5} } \left(X-x\right) \tag{1}
$$

由于 $P$ 点的法线和切线垂直，对应的斜率的乘积为 $-1$, 所以，$P$ 点法线的方程为：

$$
Y-y = \textcolor{pink}{ -\frac{1}{2x^{5}} } \left(X-x\right) \tag{2}
$$

由于接下来要求解法线在 $Y$ 轴上截距的表达式，所以，我们令 $(2)$ 式中的 $X=0$, 得：

$$
Y = \textcolor{lightgreen}{I_{y}} = y + \frac{1}{2x^{4}} = \textcolor{lightgreen}{ 1 + \frac{x^{6}}{3} + \frac{1}{2x^{4}} } \tag{3}
$$

由于上面的截距式函数 $I_{y} = 1 + \frac{x^{6}}{3} + \frac{1}{2x^{4}}$ 是一个偶函数，所以，在接下来的计算中仅考虑 $\left(0,+\infty\right)$ 这个取值区间.

由于要求解最值，一般需要求导，所以，对 $I_{y} = 1 + \frac{x^{6}}{3} + \frac{1}{2x^{4}}$ 求导，得：

$$
\begin{aligned}
\left(I_{y}\right)^{\prime} & = \left( 1 + \frac{x^{6}}{3} + \frac{1}{2x^{4}} \right) ^{\prime} \\ \\
& = \left( 1 + \frac{1}{2} x^{6} + \frac{1}{2} x^{-4} \right) ^{\prime} \\ \\
& = \frac{1}{2} \cdot 6 x^{5} + \frac{1}{2} \cdot \left( -4 \right) \cdot x^{-5} \\ \\
& = 2x^{5}-\frac{2}{x^{5}}
\end{aligned}
$$

接着，令 $\left(I_{y}\right)^{\prime}=2x^{5}-\frac{2}{x^{5}}=0$, 得：

$$
x = 1
$$

又因为：

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $x\in \left(0,1\right)$ 的时候 $\left(I_{y}\right)^{\prime}<0$, $I_{y}>I_{y}\left(1\right)=\frac{11}{6}$；

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 当 $x\in \left(1,+\infty\right)$ 的时候 $\left(I_{y}\right)^{\prime}>0$, $I_{y}>I_{y}\left(1\right)=\frac{11}{6}$.

所以，当 $P$ 点为 $\left(1,\frac{4}{3}\right)$ 或者 $\left(-1,\frac{4}{3}\right)$ 时（$I_{y}$ 是偶函数），$I_{y}$ 有最小值 $\frac{11}{6}$.

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