作者： 荒原之梦

一、题目

已知四维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关, 则下列向量组中线性无关的是哪个？

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$.

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$.

(C) $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$.

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$.

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继续阅读“线性无关的向量组「乘以」线性相关的向量组会得到一个线性相关的向量组”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right]$, $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}\right]$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}\right]$ 都是 $n$ 阶矩阵。

记向量组 ( I ) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$; (II) $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}$; (III) $\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}$

若向量组 ( III ) 线性相关, 则以下说法正确的是哪个？

(A) (Ⅰ) , (Ⅱ) 均线性相关
(B) (Ⅰ) 或 (Ⅱ) 中至少有一个线性相关
(C) (Ⅰ) 一定线性相关
(D) (Ⅱ) 一定线性相关

难度评级：

继续阅读“对向量组是否线性相关的判断可以转化为对行列式是否等于零的判断”

一、题目

已知，向量组（Ⅰ）：$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$; 向量组（II）：$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}, \boldsymbol{\alpha}_{s+1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s+t}$, 则正确命題是哪个？

(A) ( I ) 无关 $\Rightarrow$ ( II ) 无关

(B) ( I ) 无关 $\Rightarrow$ ( II ) 相关

(C) ( II ) 相关 $\Rightarrow$ ( I ) 相关

(D) ( II ) 无关 $\Rightarrow$ ( I ) 无关

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继续阅读“向量组：少的相关多的一定相关，多的无关少的一定无关”

一、题目

已知，向量组 (Ⅰ): $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}\right)$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(a_{21}, a_{21}, a_{23}\right)$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}\right)$; 向量组 (II) : $\boldsymbol{\beta}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}\right)$, $\boldsymbol{\beta}_{2}=\left(a_{21}, a_{21}, a_{23}, a_{24}\right)$, $\boldsymbol{\beta}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34}\right)$, 则正确的命題是哪个？

(A) (I) 相关 $\Rightarrow$ (II) 相关

(B) (I) 无关 $\Rightarrow$ (II) 无关

(C) (II) 无关 $\Rightarrow$ (I) 无关

(D) (II) 相关 $\Rightarrow$ (I) 无关

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继续阅读“向量：短无关则长无关，长相关则短相关”

一、题目

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关的充分必要条件是哪个？

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 均不是零向量

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 中任意 $s-1$ 个向量都线性无关

(C) 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}, \boldsymbol{\alpha}_{s+1}$ 线性无关

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$, 中每一个向量都不能由其余 $s-1$ 个向量线性表出

难度评级：

继续阅读“向量线性无关的充要条件：任一个向量都不能由其余向量线性表出”

一、题目

设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 的充分必要条件是：

(A) $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性相关

(B) $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关

(C) $\boldsymbol{A}$ 中每一个列向量都可由其他列向量线性表示

(D) $\boldsymbol{A}$ 中一定有 2 个列向量坐标成比例

难度评级：

继续阅读“行列式等于零的充要条件是什么？”

一、题目

设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_{1}\end{array}\right]$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_{2}\end{array}\right]$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_{3}\end{array}\right]$, $\boldsymbol{\alpha}_{4}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_{4}\end{array}\right]$, 其中 $c_{1}, c_{2}$, $c_{3}, c_{4}$ 为任意常数, 则下列向量组线性相关的是哪个？

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$

(C) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$

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继续阅读“只要行列式有两行或者两列成比例，则组成该行列式的行或者列向量之间都是线性相关的”

一、题目

已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(1, 1, t)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, t, 1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(t, 1,1)^{\mathrm{\top}}\right.$ 线性相关, 而 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(1,3, 2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}=(2,7, t+4)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(0, t+2,3)^{\mathrm{\top}}$ 线性无关, 则 $t = ?$

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继续阅读“线性相关的行列式等于零，线性无关的行列式不等于零”

一、题目

当向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$, 线性相关时,使等式 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0}$

成立的常数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k$, 是

(A) 某些全不为 0 的常数

(B) 任意一组不全为 0 的常数

(C) 唯-一组不全为 0 的常数

(D) 无穷多组特定的不全为 0 的常数

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继续阅读“使线性无关的向量组和等于零的系数有无数组”

一、题目

已知 $A$ 是任意一个 $n$ 阶矩阵，则以下哪些矩阵是对称的？

(1) $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$; (2) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$; (3) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$; (4) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{*}$;
(5) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A}$

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继续阅读“下面哪些矩阵是对称的？”

一、题目

已知 $\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{X}+\boldsymbol{B}$, 其中 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{X}=?$

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继续阅读“矩阵乘法和求逆运算都在这道题里了”

一、题目

已知 $A, B$ 均是 $n$ 阶可逆矩阵, 则以下错误的是哪个？

(A) $\left[\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}A^{-1} & O \\ O & B^{-1}\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{n} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{n}\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{n} \\ \boldsymbol{B}^{n} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$

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继续阅读“分块矩阵的逆运算和次方运算怎么算？”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$, 则 $|\boldsymbol{A}|$ 的代数余子式 $A_{11}+A_{12}+A_{13}=?$

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继续阅读“注意啦：题目给出的是逆矩阵，但是让求解的是原矩阵对应的行列式的代数余子式”

一、题目

矩阵 $\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0\end{array}\right]$ 的伴随矩阵为：

(A) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -b c \\ 0 & -a c & 0 \\ -a b & 0 & 0\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -a b \\ 0 & -a c & 0 \\ -b c & 0 & 0\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -b c \\ 0 & a c & 0 \\ -a b & 0 & 0\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -a b \\ 0 & a c & 0 \\ -b c & 0 & 0\end{array}\right]$

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继续阅读“在选择题中求解伴随矩阵的两种常用方法”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵, 则下列命题中正确的是哪个？

(A) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O} \textcolor{orangered}{ \Leftrightarrow } \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$
(B) 如 $A B=O$, 则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
(C) 如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$
(D) 如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$

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继续阅读“注意命题表述的区别：“则”是单向的，“等价”是双向的”