作者： 荒原之梦

题目

设函数 $y(x)$ 具有二阶导数，且曲线 $l$:$y=y(x)$ 与直线 $y=x$ 相切于原点，记 $\alpha$ 为曲线 $l$ 在点 $(x,y)$ 处切线的倾角，若 $\frac{d \alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}$, 求 $y(x)$ 的表达式。

题目

设函数 $z = f(xy, yg(x))$, 其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导且在 $x=1$ 处取得极值 $g(1)=1$. 求 $\frac{\partial^{2}z}{\partial x \partial y}|_{x=1,y=1}$.

题目

设函数 $y=y(x)$ 由参数方程：

$$
\left\{\begin{matrix}
x = \frac{1}{3}t^{3} + t + \frac{1}{3},\\
y = \frac{1}{3}t^{3} – t + \frac{1}{3}
\end{matrix}\right.
$$

确定，求 $y=y(x)$ 的极值和曲线 $y=y(x)$ 的凹、凸区间及拐点。

题目

已知函数

$$
F(x) = \frac{\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) dt}{x^{a}}.
$$

设 $\lim_{x \rightarrow + \infty} F(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} F(x) = 0$, 试求 $a$ 的取值范围.

题目

设平面区域 $D$ 由直线 $y=x$, 圆 $x^{2} + y^{2} = 2y$ 及 $y$ 轴所围成，则二重积分 $\iint xy d \sigma = ?$

题目

设函数

$$
f(x) = \left\{\begin{matrix}
\lambda e^{-\lambda x}, x > 0,\\0, x \leqslant 0.
\end{matrix}\right. (\lambda > 0)
$$

则 $\int_{- \infty}^{+\infty} xf(x) dx = ?$