函数和数列极限的重要性质之极限的唯一性(B001)

问题

以下关于【函数和数列极限唯一性】的表述中,正确的是哪个?

选项

[A].   若 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $B$, 则 $A$ $\neq$ $B$
[B].   若 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $B$, 则 $A$ $=$ $B$
[C].   若 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $C$, 则 $A$ $=$ $B$
[D].   若 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $B$, 则 $B$ $=$ $B$

显示答案

若 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $B$, 则 $A$ $=$ $B$.

Tips: 极限若存在,必唯一.

变量 $x$ 趋于无穷大时的重要极限(B001)

问题

当 $x \rightarrow \infty$ 时,$(1 + \frac{1}{x})^{x}$ 的极限是多少?

选项

[A].   $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + \frac{1}{x})^{x}$ $=$ $e$
[B].   $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $(1 + \frac{1}{x})^{x}$ $=$ $0$
[C].   $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $(1 + \frac{1}{x})^{x}$ $=$ $1$
[D].   $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $(1 + \frac{1}{x})^{x}$ $=$ $e$

显示答案

$\lim_{x \rightarrow \infty}$ $(1 + \frac{1}{x})^{x}$ $=$ $e$

变量 $x$ 趋于零时的重要极限(02-B001)

问题

当 $x \rightarrow 0$ 时,$(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ 的极限是多少?

选项

[A].   $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $e$
[B].   $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $0$
[C].   $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $1$
[D].   $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $e$

显示答案

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $e$

变量 $x$ 趋于零时的重要极限(01-B001)

问题

当 $x \rightarrow 0$ 时,$\frac{\sin x}{x}$ 的极限是多少?

选项

[A].   $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $\infty$
[B].   $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $-1$
[C].   $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $0$
[D].   $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $1$

显示答案

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $1$

数列极限存在的单调有界准则(B001)

问题

下面关于【数列极限存在的单调有界准则】中,正确的是哪个?

选项

[A].   单调有界数列必存在极限
[B].   单调有界数列不一定存在极限
[C].   有界数列必存在极限
[D].   单调数列必存在极限

显示答案

单调有界数列必存在极限

函数极限存在的夹逼准则(B001)

问题

根据【夹逼准则】,若要使函数极限 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $A$ 存在,则需要满足下面哪个条件?

选项

[A].   $g(x)$ $\leqslant$ $f(x)$ $\geqslant$ $h(x)$ 且 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $g(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \square}$ $h(x)$ $=$ $A$
[B].   $g(x)$ $\leqslant$ $f(x)$ $\leqslant$ $h(x)$ 且 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $g(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \square}$ $h(x)$ $=$ $A$
[C].   $g(x)$ $\leqslant$ $f(x)$ $<$ $h(x)$ 且 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $g(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \square}$ $h(x)$ $=$ $A$
[D].   $g(x)$ $\leqslant$ $f(x)$ $\leqslant$ $h(x)$ 且 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $g(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \square}$ $h(x)$ $=$ $B$

显示答案

$g(x)$ $\leqslant$ $f(x)$ $\leqslant$ $h(x)$ 且 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $g(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \square}$ $h(x)$ $=$ $A$

数列极限存在的夹逼准则(B001)

问题

根据【夹逼准则】,若要使数列极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $a$ 存在,则需要满足下面哪个条件?

选项

[A].   $y_{n}$ $\leqslant$ $x_{n}$ $\geqslant$ $z_{n}$ 且 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $y_{n}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $z_{n}$ $=$ $a$
[B].   $y_{n}$ $\leqslant$ $x_{n}$ $\leqslant$ $z_{n}$ 且 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $y_{n}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $z_{n}$ $=$ $a$
[C].   $y_{n}$ $\leqslant$ $x_{n}$ $\leqslant$ $z_{n}$ 且 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $y_{n}$ $=$ $a$, $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $z_{n}$ $=$ $b$
[D].   $y_{n}$ $\leqslant$ $x_{n}$ $\leqslant$ $z_{n}$ 且 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $y_{n}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $a_{n}$ $=$ $a$

显示答案

$y_{n}$ $\leqslant$ $x_{n}$ $\leqslant$ $z_{n}$ 且 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $y_{n}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $z_{n}$ $=$ $a$

函数极限存在的充分必要条件(02-B001)

问题

下面【函数极限存在的充分必要条件】中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$
[B].   $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$
[C].   $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $=$ $B$
[D].   $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$

显示答案

$\lim_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$

函数极限存在的充分必要条件(01-B001)

问题

下面【函数极限存在的充分必要条件】中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $A$
[B].   $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $B$
[C].   $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $A$
[D].   $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $A$

显示答案

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $A$

数列极限存在的充分必要条件(03-B001)

问题

下面【数列极限存在的充分必要条件】中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n+1}$ $=$ $A$
[B].   $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n+1}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n+2}$ $=$ $B$
[C].   $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n+1}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n+2}$ $=$ $A$
[D].   $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n+2}$ $=$ $A$

显示答案

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n+1}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n+2}$ $=$ $A$

Tips >>
[1]. 只有当一个数列的所有子列的极限都存在且相等的时候,这个数列的极限才存在;
[2]. 我们可以用 $3n$, $3n+1$ 和 $3n+2$ 完整的表示一个数列的所有子列.

数列极限存在的充分必要条件(02-B001)

问题

下面【数列极限存在的充分必要条件】中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n+1}$ $=$ $A$
[B].   $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n+1}$ $=$ $B$
[C].   $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n}$ $=$ $A$
[D].   $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n+1}$ $=$ $A$

显示答案

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n+1}$ $=$ $A$

Tips >>
[1]. 只有当一个数列的所有子列的极限都存在且相等的时候,这个数列的极限才存在;
[2]. 我们可以用 $2n$ 和 $2n+1$ 完整的表示一个数列的所有子列.

数列极限存在的充分必要条件(01-B001)

问题

下面【数列极限存在的充分必要条件】中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n-1}$ $=$ $B$
[B].   $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n}$ $=$ $A$
[C].   $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n-1}$ $=$ $A$
[D].   $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{White}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n-1}$ $=$ $A$

显示答案

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n-1}$ $=$ $A$

Tips >>
[1]. 只有当一个数列的所有子列的极限都存在且相等的时候,这个数列的极限才存在;
[2]. 我们可以用 $2n$ 和 $2n-1$ 完整的表示一个数列的所有子列.

反三角函数 $\text{arccot}$ 的常用特殊值(A004)

问题

下面【反三角函数 $\text{arccot}$ 的常用特殊值】中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\text{arccot}$ $\sqrt{3}$ $=$ $\frac{\pi}{5}$ $\color{White}{//}$ $\text{arccot}$ $1$ $=$ $\frac{\pi}{3}$ $\color{White}{//}$ $\text{arccot}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $=$ $\frac{\pi}{2}$ $\color{White}{//}$ $\text{arccot}$ $0$ $=$ $\pi$
[B].   $\text{arccot}$ $\sqrt{3}$ $=$ $\frac{\pi}{6}$ $\color{White}{//}$ $\text{arccot}$ $1$ $=$ $\frac{\pi}{4}$ $\color{White}{//}$ $\text{arccot}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $=$ $\frac{\pi}{3}$ $\color{White}{//}$ $\text{arccot}$ $0$ $=$ $\frac{\pi}{2}$
[C].   $\text{arccot}$ $\sqrt{3}$ $=$ $\frac{\pi}{6}$ $\color{White}{//}$ $\text{arccot}$ $1$ $=$ $0$ $\color{White}{//}$ $\text{arccot}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $=$ $\frac{\pi}{3}$ $\color{White}{//}$ $\text{arccot}$ $0$ $=$ $\frac{\pi}{2}$
[D].   $\text{arccot}$ $\sqrt{3}$ $=$ $\pi$ $\color{White}{//}$ $\text{arccot}$ $1$ $=$ $\frac{\pi}{4}$ $\color{White}{//}$ $\text{arccot}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $=$ $\frac{\pi}{3}$ $\color{White}{//}$ $\text{arccot}$ $0$ $=$ $\frac{\pi}{2}$

显示答案

$\text{arccot}$ $\sqrt{3}$ $=$ $\frac{\pi}{6}$ $\color{Red}{//}$ $\text{arccot}$ $1$ $=$ $\frac{\pi}{4}$ $\color{Red}{//}$ $\text{arccot}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $=$ $\frac{\pi}{3}$ $\color{Red}{//}$ $\text{arccot}$ $0$ $=$ $\frac{\pi}{2}$

反三角函数 $\arctan$ 的常用特殊值(A004)

问题

下面【反三角函数 $\arctan$ 的常用特殊值】中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\arctan$ $0$ $=$ $0$ $\color{White}{//}$ $\arctan$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $=$ $\frac{\pi}{6}$ $\color{White}{//}$ $\arctan$ $1$ $=$ $\frac{\pi}{3}$ $\color{White}{//}$ $\arctan$ $\sqrt{3}$ $=$ $\frac{\pi}{5}$
[B].   $\arctan$ $0$ $=$ $0$ $\color{White}{//}$ $\arctan$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $=$ $\frac{\pi}{3}$ $\color{White}{//}$ $\arctan$ $1$ $=$ $\frac{\pi}{4}$ $\color{White}{//}$ $\arctan$ $\sqrt{3}$ $=$ $\frac{\pi}{6}$
[C].   $\arctan$ $0$ $=$ $1$ $\color{White}{//}$ $\arctan$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $=$ $\frac{\pi}{6}$ $\color{White}{//}$ $\arctan$ $1$ $=$ $\frac{\pi}{3}$ $\color{White}{//}$ $\arctan$ $\sqrt{3}$ $=$ $\frac{\pi}{2}$
[D].   $\arctan$ $0$ $=$ $0$ $\color{White}{//}$ $\arctan$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $=$ $\frac{\pi}{6}$ $\color{White}{//}$ $\arctan$ $1$ $=$ $\frac{\pi}{4}$ $\color{White}{//}$ $\arctan$ $\sqrt{3}$ $=$ $\frac{\pi}{3}$

显示答案

$\arctan$ $0$ $=$ $0$ $\color{Red}{//}$ $\arctan$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $=$ $\frac{\pi}{6}$ $\color{Red}{//}$ $\arctan$ $1$ $=$ $\frac{\pi}{4}$ $\color{Red}{//}$ $\arctan$ $\sqrt{3}$ $=$ $\frac{\pi}{3}$

反三角函数 $\arccos$ 的常用特殊值(A004)

问题

下面【反三角函数 $\arccos$ 的常用特殊值】中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\arccos$ $1$ $=$ $0$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $=$ $\frac{\pi}{6}$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $=$ $\frac{\pi}{4}$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $\frac{1}{2}$ $=$ $\frac{\pi}{3}$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $0$ $=$ $\frac{\pi}{2}$
[B].   $\arccos$ $1$ $=$ $0$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $=$ $\frac{\pi}{6}$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $=$ $\frac{\pi}{4}$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $\frac{1}{2}$ $=$ $\frac{\pi}{3}$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $0$ $=$ $\frac{\pi}{2}$
[C].   $\arccos$ $1$ $=$ $0$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $=$ $\frac{\pi}{6}$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $=$ $\frac{\pi}{4}$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $\frac{1}{2}$ $=$ $\frac{\pi}{2}$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $0$ $=$ $\frac{\pi}{3}$
[D].   $\arccos$ $1$ $=$ $1$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $=$ $\frac{\pi}{6}$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $=$ $\frac{\pi}{4}$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $\frac{1}{2}$ $=$ $\frac{\pi}{3}$ $\color{White}{//}$ $\arccos$ $0$ $=$ $\frac{1}{2}$

显示答案

$\arccos$ $1$ $=$ $0$ $\color{Red}{//}$ $\arccos$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $=$ $\frac{\pi}{6}$ $\color{Red}{//}$ $\arccos$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $=$ $\frac{\pi}{4}$ $\color{Red}{//}$ $\arccos$ $\frac{1}{2}$ $=$ $\frac{\pi}{3}$ $\color{Red}{//}$ $\arccos$ $0$ $=$ $\frac{\pi}{2}$