一、前言
在本文中,荒原之梦网汇总了涉及考研数学定积分的典型例题,覆盖了绝大部分考研数学一重定积分部分常见的解题方法。
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继续阅读“典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现)”已知,$f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ 则 $x = 0$ 和 $x = 1$ 是该函数的什么间断点?
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继续阅读“第一类间断点没有无穷也不震荡,除此之外的都是第二类间断点”已知,$f(x)=\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{\sin t} \mathrm{~d} t$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 为无穷小 $x$ 的几阶无穷小?
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继续阅读“求一次导会降一阶,但千万别忘了求导前的阶数”$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=?
$$
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继续阅读“等差数列和等比数列的前 n 项和公式你还记得吗?”已知,$I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$, 则 $a = ?$, $b=?$
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继续阅读“求导一定要彻底,特别是对于两个式子相乘的情况”$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=?
$$
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继续阅读“不能对幂指函数的局部使用无穷小相关定理”$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x} = ?
$$
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继续阅读“三角函数中的和差化积与积化和差公式也很重要”已知,$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$, 则 $a = ?$, $k = ?$
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继续阅读“可以用 (a+b)(a-b) 去掉根号”$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=?
$$
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继续阅读“复杂的式子先找共同点化简”$f(x)=\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$, 则当 $x \rightarrow 1$ 时,$f(x)$ 的极限情况如何?
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继续阅读“极限情况下对 e 的次幂要考虑清楚是正无穷还是负无穷”已知,$1<a \leqslant \mathrm{e}^{\frac{1}{e}}$, $x_{1}=a, x_{2}=a^{x_{1}}, \cdots, x_{n}=a^{x_{n-1}}, \cdots$, 则数列 $\{ x_{n} \}$ 增减性如何?有极限吗?
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继续阅读“套娃式题目怎么做?先“套”几个看看”已知,$D$ $=$ ${(x, y) \mid -1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2}$, 则 $I=\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=?$
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继续阅读“二重积分的被积函数中含有根号怎么办?可以尝试改造积分区域实现对根号的去除”已知,积分区域 $D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2$, $y=0$ 围成,则 $\iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=?$
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继续阅读“在二重积分中,分清当前哪个变量要被看做常数很重要”已知,积分区域 $D=\{ (x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2} \}$, 则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{~d} \sigma=?$
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继续阅读“如果积分区域关于 y=x 对称,那么调换被积函数中的 x 与 y 不会改变积分的值”