一、题目
已知函数：
$$
f(x)=\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)(x-2)}
$$
则该函数的第二类间断点的个数为 ( $\quad$ )
难度评级：
继续阅读“函数间断点，要么是无定义的点（分母为零），要么是分段函数的分段点”标签： 高等数学练习题
这个包含无穷多项的数列可以转换为定积分进行计算吗？
一、题目
已知：
$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+1}+\frac{2^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+n}\right)
\end{aligned}
$$
则：
$$
I \ = \ ?
$$
难度评级：
继续阅读“这个包含无穷多项的数列可以转换为定积分进行计算吗？”这个分子可以首先进行有理化操作吗？
一、题目
已知：
$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{\arctan x}-\mathrm{e}^{\arcsin x}}{x^{3}}
\end{aligned}
$$
则：
$$
I \ = \ ?
$$
难度评级：
继续阅读“这个分子可以首先进行有理化操作吗？”分子是两式相减等于零的极限怎么算？先做分子有理化
一、题目
已知：
$$
\begin{aligned}
I & = \\
& \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\arctan x}}{x-\sin x}
\end{aligned}
$$
则：
$$
I \ = \ ?
$$
难度评级：
继续阅读“分子是两式相减等于零的极限怎么算？先做分子有理化”无穷多项的数列问题常常可以利用定积分的定义转化为定积分
一、题目
已知：
$$
\begin{aligned}
I & = \\
& \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\sqrt{n^{2}-1^{2}}}{n^{2}}+\frac{2+\sqrt{n^{2}-2^{2}}}{n^{2}}+\cdots+\frac{n+\sqrt{n^{2}-n^{2}}}{n^{2}}\right)
\end{aligned}
$$
则：
$$
I \ = \ ?
$$
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继续阅读“无穷多项的数列问题常常可以利用定积分的定义转化为定积分”使用 e 抬起运算法的注意事项：分清楚数字 1 和极限 1
一、题目
已知 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{2 x}$ $=$ $\lim \limits_{t \rightarrow 0}(1-2 t)^{\frac{1}{\sin t}}$, 则 $a = ?$
难度评级：
继续阅读“使用 e 抬起运算法的注意事项：分清楚数字 1 和极限 1”等价无穷小公式用不上怎么办：加加减减，恒等变形
一、题目
$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{\sqrt{1-x^{2}}-1} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“等价无穷小公式用不上怎么办：加加减减，恒等变形”怎么判断是否需要交换二重积分得积分次序？
一、题目
$$
I= \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=?
$$
难度评级：
继续阅读“怎么判断是否需要交换二重积分得积分次序？”在这道题目中 y 是 x 的函数吗？
一、题目
已知 $y=x z$，$z=z(x, y)$ 由方程 $\frac{x}{z}$ $=$ $\ln \frac{z}{y}$ 确定, 则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right|_{x=\frac{1}{e}}$ $=$ $?$
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继续阅读“在这道题目中 y 是 x 的函数吗？”复杂幂指函数求导不要用“$\mathrm{e}$ 抬起”，而要用“$\ln$ 落下”
一、题目
$f(x)$ $=$ $x^{x}(1-x)^{1-x}$ 在区间 $x \in (0,1)$ 内的最小值为 ( $\quad$ )
难度评级：
继续阅读“复杂幂指函数求导不要用“$\mathrm{e}$ 抬起”，而要用“$\ln$ 落下””无穷小量的计算技巧：通过改变次幂的方式提取公倍数
一、题目
已知 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-a}{x-a}=A$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{e^{f(x)}-e^{a}}{\sin (x-a)}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“无穷小量的计算技巧：通过改变次幂的方式提取公倍数”变限积分求高阶导：分清谁是变量，能求出的先求出，能代入的先代入
一、题目
已知 $x=x(t)$ 由方程 $\sin t$ $-$ $\int_{1}^{x-t} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d} u$ $=$ $0$ 所确定, 则 $\left.\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}\right|_{t=0}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“变限积分求高阶导：分清谁是变量，能求出的先求出，能代入的先代入”在变限积分中先分清谁要被看作常数，再讨论去根号的方式
一、题目
已知 $x \geqslant -1$, 则 $\int_{-1}^{x} (1 – |t|) \mathrm{~d} t = ?$
难度评级：
继续阅读“在变限积分中先分清谁要被看作常数，再讨论去根号的方式”无穷小量计算的技巧：抛砖引玉式解法
一、题目
$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{\tan x \cdot\left[\int_{0}^{x} e^{-(x-t)^{2}} \mathrm{~d} t-x\right]} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“无穷小量计算的技巧：抛砖引玉式解法”构造函数的技巧：什么样的式子求导可能会产生 1 阶导和 0 阶导？
一、题目
已知 $f(x)$ 可导, $f(0)=2$, 且 $f^{\prime}(x)$ $<$ $2 f(x)$, 则下列结论正确的是哪个 ( $\quad$ )
A. $f(-1)>2$
C. $f(1)>2 \mathrm{e}^{2}$
B. $f(-1)<\frac{2}{\mathrm{e}^{2}}$
D. $f(1)<2 \mathrm{e}^{2}$
难度评级：
继续阅读“构造函数的技巧：什么样的式子求导可能会产生 1 阶导和 0 阶导？”