一、前言 
本文中汇总了考研数学不定积分部分的典型例题，以及由荒原之梦网（zhaokaifeng.com）原创撰写的解题步骤。
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继续阅读“典型例题汇总：不定积分（凑微分、分部积分、一般有理式积分，三角函数有理式积分等）”标签： 高等数学练习题
第一类间断点没有无穷也不震荡，除此之外的都是第二类间断点
一、题目
已知，$f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ 则 $x = 0$ 和 $x = 1$ 是该函数的什么间断点？
难度评级：
继续阅读“第一类间断点没有无穷也不震荡，除此之外的都是第二类间断点”求一次导会降一阶，但千万别忘了求导前的阶数
一、题目
已知，$f(x)=\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{\sin t} \mathrm{~d} t$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 为无穷小 $x$ 的几阶无穷小？
难度评级：
继续阅读“求一次导会降一阶，但千万别忘了求导前的阶数”等差数列和等比数列的前 n 项和公式你还记得吗？
一、题目
$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=?
$$
难度评级：
继续阅读“等差数列和等比数列的前 n 项和公式你还记得吗？”求导一定要彻底，特别是对于两个式子相乘的情况
一、题目
已知，$I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$, 则 $a = ?$, $b=?$
难度评级：
继续阅读“求导一定要彻底，特别是对于两个式子相乘的情况”不能对幂指函数的局部使用无穷小相关定理
一、题目
$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=?
$$
难度评级：
继续阅读“不能对幂指函数的局部使用无穷小相关定理”三角函数中的和差化积与积化和差公式也很重要
一、题目
$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“三角函数中的和差化积与积化和差公式也很重要”可以用 (a+b)(a-b) 去掉根号
一、题目
已知，$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$, 则 $a = ?$, $k = ?$
难度评级：
继续阅读“可以用 (a+b)(a-b) 去掉根号”复杂的式子先找共同点化简
一、题目
$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=?
$$
难度评级：
继续阅读“复杂的式子先找共同点化简”极限情况下对 e 的次幂要考虑清楚是正无穷还是负无穷
一、题目
$f(x)=\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$, 则当 $x \rightarrow 1$ 时，$f(x)$ 的极限情况如何？
难度评级：
继续阅读“极限情况下对 e 的次幂要考虑清楚是正无穷还是负无穷”套娃式题目怎么做？先“套”几个看看
一、题目
已知，$1<a \leqslant \mathrm{e}^{\frac{1}{e}}$, $x_{1}=a, x_{2}=a^{x_{1}}, \cdots, x_{n}=a^{x_{n-1}}, \cdots$, 则数列 $\{ x_{n} \}$ 增减性如何？有极限吗？
难度评级：
继续阅读“套娃式题目怎么做？先“套”几个看看”二重积分的被积函数中含有根号怎么办？可以尝试改造积分区域实现对根号的去除
一、题目
已知，$D$ $=$ ${(x, y) \mid -1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2}$, 则 $I=\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=?$
难度评级：
继续阅读“二重积分的被积函数中含有根号怎么办？可以尝试改造积分区域实现对根号的去除”在二重积分中，分清当前哪个变量要被看做常数很重要
一、题目
已知，积分区域 $D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2$, $y=0$ 围成，则 $\iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=?$
难度评级：
继续阅读“在二重积分中，分清当前哪个变量要被看做常数很重要”如果积分区域关于 y=x 对称，那么调换被积函数中的 x 与 y 不会改变积分的值
一、题目
已知，积分区域 $D=\{ (x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2} \}$, 则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{~d} \sigma=?$
难度评级：
继续阅读“如果积分区域关于 y=x 对称，那么调换被积函数中的 x 与 y 不会改变积分的值”无论是一元还是二元函数，只要连续一定可积：连续函数的定积分是一个定值
一、题目
已知，$f(x, y)$ 为连续函数，且 $f(x, y)$ $=$ $\frac{1}{\pi} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+y^{2}$, 则 $f(x, y)=?$
难度评级：
继续阅读“无论是一元还是二元函数，只要连续一定可积：连续函数的定积分是一个定值”